Re: [線代] 一題求解相似矩陣的問題

[zend (相)]

※ 引述《css186 (偷磨牙)》之銘言：
: 題目如下
: https://i.imgur.com/9XrEGwy.png
: 目前想到的解題思路是，要找一個矩陣P
: 使得N = P^-1MP
: 解釋的部分就看一下三點是否成立
: 1. det(M)=det(N)
: 2. rank(M)=rank(N)
: 3. trace是否相同
: 但目前看起來沒有N矩陣的basis相關條件(?
: (或是其實有只是我沒看懂而已?)
: 想了很久想不出怎麼寫
: 所以想來尋求版友協助
: 感激不盡

解特徵方程的時候會得到重根4,
然後解 eigenvector v = [x,y] 的時候會得到 [0,0].
這意味著M無法對角化.只能計算M的 Jordan Canonical Form.

如果查一下Jordan Form的定義,可發現M是可以被轉化成
[[4,1],[0,4]]的.題目既然有額外要求,
你的目標就是把N設成[[4,3],[0,4]]然後去解PN = MP.
四個變數,四個方程,應該要能夠解出來,我記得Jordan Form是有存在性定理的.
解不出來會和定理違背.

現在線代都開始考 Jordan Form 了,這老師是要來虐學生逆?

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推 css186      : 剛才硬湊數字是有算出一個N矩陣是[[2 3], [-2 5]]
→ css186      : 但您提供的思路很完整 我會研究一下看怎麼算
→ css186      : 感謝協助
→ cuylerLin   : M 有兩個共軛特徵根哪來無法對角化......
→ zend        : 致歉.我剛剛沒自己算特徵方程式.用ChatGPT算.
推 css186      : 不好意思驚動到大家剛剛已經算出來了 M可以對角化
→ zend        : 結果被它唬了. 正解如樓上所說會有兩複數根.
推 css186      : 感謝 zend大與cuyler大協助