[中學] 組合

[mathblue (anlysis)]

證明：若二項式(7x+1)^n的展開式中至少有兩項係數相同，則n≡7 (mod8)。

觀察一些例子後發現只能式是相鄰兩項相等，就能有後面的結論。
但是一直沒有比較嚴謹一點的證明。因此，上來請教各位。

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推 a16745984   : 整理後發現 得n=7(mod8)時 項次是8n+7 n=0,1,2…,
→ a16745984   : 係數相等是因為隔壁項C(8n+7)(n) 除以 C(8n+7)(n+1
→ a16745984   : ) =7 至少有一相等
→ a16745984   : 比較嚴謹的證明？指得是比較高難度的技巧嗎？
→ a16745984   : 阿 看錯證明的方向了 題目的方向比較難證
→ yhliu       : 想了很久仍不知如何證明非相鄰兩項，係數不可能相等
推 Starvilo    : 每7個數只有1個7的倍數，但每差1位就差7的因數
推 Starvilo    : 當我上面沒說，也許高冪次有！
推 Starvilo    : 相鄰的想法 參考看看
→ Starvilo    :  https://i.imgur.com/z33HjPZ.jpg
推 Starvilo    : 補充（n-r1)x~x(n-r2+1)有d項
推 Starvilo    : 所以（n-r1)/7=r1+1=> n=8r1+7 得證
→ musicbox810 : 可以解釋一下不等式怎麼來的嗎?
推 Starvilo    : 至少有7個因數的個數
→ Starvilo    : 7的
推 Starvilo    : 簡單的說分子的7次方大於等於分母的7次方，但分子
→ Starvilo    : 的7次方要如何取？考慮每連續7數必有一數7的倍數，
→ Starvilo    : 以此類推連續49就有49倍數
→ musicbox810 : 第一個不等號不太懂
→ musicbox810 : 好像懂了!我再想想看，謝謝S大
→ musicbox810 : 第一個不等號還是不懂為何是小於等於
推 Starvilo    : D為分母小於等於分子？
→ musicbox810 : d是r1和r2的差，要看的不是(n-r1)(n-r1-1)...的7的
→ musicbox810 : 因數嗎?可是為何是用d/7^i的方式求7的次數?
推 Starvilo    : 連續乘就因為分子連續數剛好是d個，這d個至少可提
→ Starvilo    : 出幾個7，就除7的幂次
推 Starvilo    : 分子個數（n-r1)-(n-r2+1)+1=r2-r1=d
→ musicbox810 : 請問[/7^i]+......+1為什麼要+1?
推 Starvilo    : r2 r1先天條件兩不相等
→ Starvilo    : r2-r1>=1
→ musicbox810 : 謝謝S大花這麼多時間解釋，我再好好想一想，謝謝S大
推 Starvilo    : 題目兩係數相等 組合選取錯要不同啊～一個r1一個r
→ Starvilo    : 2
→ Starvilo    : 錯改數
→ musicbox810 : 是的，r1-r2>=1
推 Starvilo    : 我再思考應該不用加1 ，1<=d<=d/6 右邊矛盾，所以
→ Starvilo    : 只有1可能。
推 Starvilo    : 我在重新研究一下！XD
推 Starvilo    : 配合數的幂次