[線代] 請問這個證明的直證法(Solved)

[znmkhxrw (QQ)]

 
想請問這個性質有沒有直接的證法, 我證的有點迂迴...
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令A€M_mxn(F), F = R or C, b€range of A 
則 Ax = b <=> A^*A x = A^*b, 其中A^*是A的transpose conjugate
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直證"=>"很容易, 但是另外一個方向我毫無頭緒, 因為A^*無法消掉 
 
而迂迴的證法如下:
 
令S_1 := {Ax=b}
  S_2 := {A^*A x = A^*b}
則 原命題 等價於證明 S_1=S_2
 
pf: (1) S_1≦S_2 很明顯(≦是被包含)
    (2) 因為b€R(A), 所以S_1非空, 寫成齊次解加上特解x_1, 即S_1 = N(A) + x_1
        因S_1≦S_2所以S_2非空, 寫成齊次解加上特解x_2, 即S_2 = N(A^*A) + x_2
        然後因為N(A)=N(A^*A), 令為W
        因此S_1 = W + x_1, S_2 = W + x_2
        再來由S_1≦S_2, 我們會得到 W + x_1 ≦ W + x_2
        接著很容易得到: (a) x_1-x_2€W
                        (b) W + x_1 = W + x_2
        因此S_1=S_2, 證畢
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也就是說, 如果b不屬於R(A), 那S_1是空集合, S_2有可能非空, S_2比較大
(例如A=((0,1),(0,0), b=(1,1))
 
但是如果b€R(A), 會發現S_1就是S_2, 也就是說, 當S_1非空, S_2就不會比較大 
 
不過直接從 A^*Ax = A^*b我真的很難推出Ax=b... 
 
謝謝幫忙~
 
 
 
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
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推 cuylerLin   : 考慮等價的投影問題，例如簡單線性回歸（OLS）
→ yhliu       : b in range of A 表示存在 y 使 b = Ay
→ yhliu       : Ax=Ay <==> A(x-y) = 0 ==> A*A(x-y) = 0
→ yhliu       : A*A(x-y)=0 <==> A*Ax = A*Ay = A*b
→ yhliu       : A*A(x-y) = 0 ==> (x-y)*A*A(x-y)=0 ==> A(x-y)=0
→ znmkhxrw    : y大這個最直證, 謝謝!
 
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 06/16/2023 09:46:47
→ musicbox810 : Ax=Ay，有沒有可能從頭到尾x就等於y?這樣後面的證明
→ musicbox810 : 有意義嗎?或者A具有1-1性質?
→ znmkhxrw    : 不衝突啊 A 1-1反而秒殺 y大這方式是for any A