→ znmkhxrw : 謝謝a大的幾何觀點~ 06/16 09:50
推 cuteSquirrel: 洋洋好強 06/16 22:04
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問這個性質有沒有直接的證法, 我證的有點迂迴...
: ----------------------------------------------------
: 令A€M_mxn(F), F = R or C, b€range of A
: 則 Ax = b <=> A^*A x = A^*b, 其中A^*是A的transpose conjugate
: ----------------------------------------------------
: 直證"=>"很容易, 但是另外一個方向我毫無頭緒, 因為A^*無法消掉
: 而迂迴的證法如下:
: 令S_1 := {Ax=b}
: S_2 := {A^*A x = A^*b}
: 則 原命題 等價於證明 S_1=S_2
: pf: (1) S_1≦S_2 很明顯(≦是被包含)
: (2) 因為b€R(A), 所以S_1非空, 寫成齊次解加上特解x_1, 即S_1 = N(A) + x_1
: 因S_1≦S_2所以S_2非空, 寫成齊次解加上特解x_2, 即S_2 = N(A^*A) + x_2
: 然後因為N(A)=N(A^*A), 令為W
: 因此S_1 = W + x_1, S_2 = W + x_2
: 再來由S_1≦S_2, 我們會得到 W + x_1 ≦ W + x_2
: 接著很容易得到: (a) x_1-x_2€W
: (b) W + x_1 = W + x_2
: 因此S_1=S_2, 證畢
: ------------------------------------------------------
: 也就是說, 如果b不屬於R(A), 那S_1是空集合, S_2有可能非空, S_2比較大
: (例如A=((0,1),(0,0), b=(1,1))
: 但是如果b€R(A), 會發現S_1就是S_2, 也就是說, 當S_1非空, S_2就不會比較大
: 不過直接從 A^*Ax = A^*b我真的很難推出Ax=b...
: 謝謝幫忙~
想法
我用 <x,y> 表示 x,y 的內積，而||x||^2 = <x,x>
1. 滿足 A^*A x = A^*b 的 x ，也同時會達到 min ||Ay-b||
y in F^n
2. 因為 b 在 A 的 range 裡面，所以存在某個 z 使得 Az = b，
這同時也保證了 min ||Ay-b|| = 0
所以 ||Ax-b|| = min ||Ay-b|| = 0，可得 Ax-b
數學證明
為了方便我用 A' 代表 A 的 conjugate transpose
給定條件： A'A x = A'b -> A'(Ax-b) = 0
對於任意 y in F^n，我們有
||Ay-b||^2 = ||Ay-Ax+Ax-b||^2
= ||Ay-Ax||^2 + ||Ax-b||^2 + <A(y-x), Ax-b> + <Ax-b, A(y-x)>
先看最後一項
<Ax-b, A(y-x)> = <A'(Ax-b), y-x>
= < 0, y-x>
= 0
同樣的理由 <A(y-x), Ax-b> = 0
所以我們得到對於任意 y in F^n ||Ay-b||^2 = ||Ay-Ax||^2 + ||Ax-b||^2
接著因為 b 在 A 的 range 裡面，所以存在某個 z in F^n 使得 Az = b，
把 z 套進上面的y，可得到
0 = ||Az-b||^2 = ||Az-Ax||^2 + ||Ax-b||^2
這保證了 ||Ax-b||^2 = 0 -> Ax -b =0
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