[線代] 轉換一組正交基底為另一組

[saltlake (SaltLake)]

  在三維維度下，給定一組正交基底向量 U，要透過某個變換得到另一組

  正交基底向量 V，可以把基底向量或者說正交座標系繞著某根軸旋轉。

  例如下列方陣 R:

    [1,  0,      0;
     0,  cos(A), sin(A);
     0, -sin(A), cos(A)];

   令 V = R*U

   正交條件: I = V'*V = (U'*R')*(R*U) = U'*(R'*R)*U = U'*I*U = U'*U

  問題(一): 更高維度的純旋轉方陣怎樣決定?

  問題(二): 從幾何角度看，把原座標系統平移所得的新座標系統不改變正交性，

            但是如何證明此點?

  問題(三): 無限維度的情況呢? 怎樣把一組正交基底函數集合轉換成另一組?

            也是如有限維度下的純旋轉和平移? 怎麼決定這個變換函數集?


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推 zjes40604   : 問題一跟三是差不多的。
→ zjes40604   : 假設這組正交基底只在xy平面上由正x軸向正y軸方向
→ zjes40604   : 旋轉Θ，則[1,0][0,1]變成[cosΘ,0][0,-sinΘ]，其
→ zjes40604   : 餘不變即可。高維也是如此，看你要旋轉什麼方向再
→ zjes40604   : 去調整基向量，剩下的就不變
推 zjes40604   : 不好意思上面變換打錯了QQ.
推 wohtp       : 2你要先想清楚什麼不變欸
→ wohtp       : 平移是 v --> v + b，本身甚至不是線性
→ wohtp       : 但是對任意向量的差 (v - u)，平移是identity