※ 引述《Crissangel (大家都叫我韓)》之銘言：
: 要證明
: 在0<x<π/2時
: x-(1/2)*x^3<sinx<x
: sinx<x的部分沒問題
: 想請教的是前半部分的不等式
: 應該怎麼從單位圓內部的長度or面積來想
: 感謝各位
三角估計的基本定理：sin x < x < tan x
首先是 cos x < (sin x)/x，
所以 1 - (sin x)/x < 1 - cos x = 2 sin^2 (x/2) < 2 * (x/2)^2 = x^2 / 2
=> x - sin x < x^3 / 2
=> sin x > x - x^3 / 2
如果想要更精確的估計，一樣可以從 cos x 下手。
從上面已經知道 1 - x^2 / 2 < cos x 了。
另外，從 x * cos x < sin x 出發，
可以知道 x^2 * cos^2 x < 1 - cos^2 x => cos x < 1 / √( 1 + x^2 )
所以 1 - x^2 / 2 < cos x < 1 - x^2 / 2 + 3/8 * x^4 - ...
這邊為了展開級數，犧牲掉了 x 的範圍，只剩下 0 < x < 1。
然後逐項積分，可以得到
x - x^3 / 6 < sin x < x - x^3 / 6 + 3/40 * x^5 - ...
這樣在 0 < x < 1 的範圍內，sin x 就可以夾得更緊一點了。
然後再回頭夾 cos x，反覆估計就可以把兩個函數的泰勒展開都算出來。
不透過積分的話，也有其他手段可以估計 (x - sin x) / x^3。
為了方便，先給個名字 f(x) = (x - sin x) / x^3。
原本的題目只告訴我們 x 是第一象限角的時候 f(x) < 1/2。
利用三倍角公式：f(x) = 1/9 * f(x/3) + 4/27 * [ (sin x/3)/(x/3) ]^3
所以 f(x) < 1/9 * f(x/3) + 4/27 < ... < 1/9^n * f(x/3^n) + 1/6 * ( 1 - 1/9^n )
得到 f(x) - 1/6 < 1/9^n * [ f(x/3^n) - 1/6 ] < 1/9^n * 1/3 for all n
最後那三個英文字很重要，他們告訴我們 f(x) - 1/6 ≦ 0
也就是說 (x - sin x) / x^3 ≦ 1/6 => sin x ≧ x - x^3 / 6
剛剛是先用 1 高估 (sin x/3)/(x/3)，這次用 cos x/3 低估他。
所以 f(x) > 1/9 * f(x/3) + 4/27 * cos^3 x/3
= 1/9 * f(x/3) + 1/9 * cos x/3 + 1/27 * cos x
> 1/9 * f(x/3) + 1/9 * ( 1 - x^2 / 18 ) + 1/27 * ( 1 - x^2 / 2 )
這次的計算比較複雜，但一路遞迴下去也可以得到
f(x) - 1/6 + x^2/40 > 1/9^n * [ f(x/3^n) - 1/6 + (x/3^n)^2 / 40 ] > -1/(6*9^n)
這次是直接利用 f(x) > 0 和 x^2/40 > 0 的特性。
然後上面的式子一樣要對所有 n 都成立，所以 f(x) - 1/6 + x^2/40 ≧ 0
就得到了 sin x ≦ x - x^3 / 6 + x^5 / 40
所以新的 sin x 估計公式就是：x - x^3 / 6 ≦ sin x ≦ x - x^3 / 6 + x^5 / 40
上下限都成功收緊了。
想收得更緊就去找 ( sin x - x + x^3 / 6 ) / x^5 的上下限。
雖然不直接積分是可行的，不過刻意避開微積分不是很有必要。
但是「這個過程行得通」可以表明：
真的只要知道 sin x < x < tan x，和上確界、下確界的概念，
就足夠把 sin x 這些三角函數的銳角函數值估計得非常準。
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