[中學] 向量內積與外積的意義與物理應用

[TKB5566 (= =)]

內積的定義是向量A．向量B，也寫成｜向量A｜｜向量B｜cosΘ。

而｜向量A｜｜向量B｜cosΘ，在數學中又被描述成是求投影量，可是我不懂的是，

｜向量A｜指的是向量A的長度，｜向量B｜cosΘ指的是向量B投影的長度，

將這兩者相乘，得到的結果是指什麼的投影量呢？

那數學究竟是將內積解釋成什麼呢？目前我只知道跟投影量有關。

而在高二物理中，做功被描述成｜向量F｜｜向量B｜cosΘ，

也就是向量F的大小，乘以向量B的大小，乘以兩向量夾角cosΘ。

其中｜向量B｜cosΘ平行於｜向量F｜，物理將這兩者的乘積，解釋成是對某物體做的功。

然後物理的做功，又可以寫成兩向量的內積，為何做功會剛好等於向量內積呢？

另外一點是外積，外積在數學中被描述成求兩向量之間的公垂向量。

而在物理中，力矩又等於力和力臂兩者外積，

力和力臂兩者外積又可寫成｜向量F｜｜向量r｜sinΘ，

在解有關力矩的題目時，幾乎都會用到這個式子。

那麼這個式子求出來的結果，為何就是兩向量的公垂向量？

就算計算出來的結果表示公垂向量，這應該也只是表示外積在數學上的意義，

那麼外積在物理上的意義，究竟是什麼呢？

又為何轉動某物體的力矩，會剛好等於向量的外積呢？

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推 WINDHEAD    : 外積=力矩 是很常見的偏差說法 大部分數學老師沒有
→ WINDHEAD    : 認真想過這個說法是有問題的
→ musicbox810 : 可以請W大解釋一下嗎?謝謝
→ madokamagika: 把a向量作用在b向量上時、可以把a向量拆成b的平行和
→ madokamagika: 垂直分量兩部分。描述平行部分之結果最多只會和b向
→ madokamagika: 量之方向有關、為何內積只有純量而不含b的方向我就
→ madokamagika: 不清楚了。垂直部分兩不平行向量會構成一平面、這時
→ madokamagika: 會需要ㄧ個平面的法向量來描述、所以其結果會是向量
→ madokamagika: 。回到問題、外積在物理是描述垂直的向量交互作用的
→ madokamagika: 結果、而平行的分量不會產生這種結果、以力矩為例、
→ madokamagika: 因平行力臂之力不會產生力矩、所以物理上用外積來描
→ madokamagika: 述這種現象。
推 pbjojo      : https://reurl.cc/DAkd2R 我覺得這篇講得很清楚，
→ pbjojo      : 從高中數學出發看起來就是種巧合，可能要數學史來看
推 zjes40604   : 推薦3b1b的矩陣系列影片  做的真的很不錯
→ zjes40604   : 如果不介意的話  b站有中文翻譯
推 normalguy216: 空間向量發展史的連結失效了
推 Vulpix      : 頁庫存檔還能看啦。這個空間就是常常當掉的樣子。