[分析] Hermite內插演算法的證明

[znmkhxrw (QQ)]

 
想請問如何證明下面wiki連結的step by step造出來的多項式確實符合內插條件 
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_interpolation#General_case
 
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以下是我的觀察跟討論:
 
首先謝謝板友們在我問Lagrange函數極限退化那邊提供的意見
也如Vulpix所述我的極限退化就相當於Hermite內插
因此今天閱讀了Hermite內插相關資料後, 我發現:
 
只有告訴你怎麼找(Newton form + 相同點當成相異點取極限)
沒有告訴你怎麼證這樣找的多項式就我們要的
 
也就是說, 在找法上使用了不同點的內插多項式的極限退化
但是並沒有證明退化後的多項式確實會滿足條件 
 
接著開始用實例說明, 因為Hermite內插的general case難寫,
我用二次多項式通過三個點然後極限退化成一個點舉例:
 
假設x_0,x_1,x_2兩兩相異, 想要找二次多項式p(x)通過(x_i,f(x_i)), i=0~2
接著用Newton form可以得到:(f[]是wiki中divided difference的記號)
 
p(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]*(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]*(x-x_0)*(x-x_1)
 
因為接著要對x_1,x_2取極限到x_0, 因此把變數x_1,x_2特別寫出令成q
即: q(x,x_1,x_2):=p(x), 然後要考慮lim_{x_1,x_2→x_0, 三者相異} q(x,x_1,x_2)
先假設這個極限存在, 令為L(x)
 
在f微分條件夠好的情況下, 我們可以證得:
 
L(x) = f(x_0) + f'(x_0)*(x-x_0) + (1/2)*f''(x_0)*(x-x_0)^2
 
(剛好在我這個舉例就是極限退化成Taylor多項式)
 
問題來了: 我怎麼知道L(x)這個多項式會滿足: (1) L(x_0)  =f(x_0)
                                          (2) L'(x_0) =f'(x_0)
                                          (3) L''(x_0)=f''(x_0)
 
當然在這個簡單的例子可以直接對L進行檢查, 也當然符合
我用這個例子跑一遍推導的用意是在於, 從剛剛的推導我們只有:
 
(a) q(x,x_1,x_2) = p(x)且滿足p(x_0)=f(x_0)
                             p(x_1)=f(x_1)
                             p(x_2)=f(x_2)
(b) lim_{x_1,x_2→x_0, 三者相異} q(x,x_1,x_2) = L(x)
 
原本我希望的是(a)+(b)就能證明出(1)~(3), 那我就不會上來問了XD
但是自己試了一下, 因為(b)對於所有x都成立, 所以我嘗試逐一代入x=x_i看極限
(順帶提一下, L(x)的收斂目前只有逐點收斂, 要證明均勻收斂才能讓x=x_1,x_2
 這兩個case也可以跑極限, 不過目前先當作well-behaved)
結果不管怎樣x=x_i都是得到L(x_0) = f(x_0)而已....
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總之, 在函數f的微分條件夠好的情況下,
不同點的多項式內插的極限退化就是Hermite內插演算法找的多項式 
 
今天我的問題在於如何證明這個多項式會滿足我們設定的內插條件 
(如果能寫出這個演算法的explict form或是遞迴式然後直接硬爆檢驗, 也歡迎!)
 
謝謝解惑~
 
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1691180238.A.7D3.html
→ PPguest     : Powell的Approximation Theory and Methods,1981
→ PPguest     : p56 Theorem 5.5
→ PPguest     : 似乎是證明Newton form的Hermite內插多項式會滿足
→ PPguest     : 內插條件. 但google圖書看不到57頁,看不到證明方法
謝謝P大資訊! 我再去找找~

→ cmrafsts    : 我的想法是這樣，想像P是正確的多項式，而且你的差
→ cmrafsts    : 值法是用P(x)去寫的。那你會得到P(x)本身。現在你
→ cmrafsts    : 變動你取的點中的一部分，使動點靠近不動點並取極
→ cmrafsts    : 限。級數那邊的極限會變成高次導數，而總和不因點
→ cmrafsts    : 的選取改變，所以得到L=P
嗨c大, 你說"想像P是正確的多項式，而且你的差值法是用P(x)去寫的"這句是什麼意思?
如果P(x)是滿足微分條件的多項式, 目前不存在差值法, 只知道存在唯一這樣的P
而想證的就是 差值法加上微分所找到的L(x)就是P(x)

我有誤解你的意思嗎?

→ cmrafsts    : 你的f現在不是只是提供函數和高次導數值嗎？
→ cmrafsts    : 所以問題是一個純代數的問題。
→ cmrafsts    : 如果你是要問為什麼取極限可以，那因為P和f有一樣的
→ cmrafsts    : 導數條件，用P去看就合理了。
我有點搞混, 整理一下符號:

P(x) 是存在唯一並滿足微分條件的二次多項式, 即P(x_0)   = f(x_0)
                                             P'(x_0)  = f'(x_0)
                                             P''(x_0) = f''(x_0)
p(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]*(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]*(x-x_0)*(x-x_1)
L(x) = lim_{x_1,x_2→x_0} p(x)

今天我們知道p(x)會滿足p(x_0) = f(x_0), p(x_1) = f(x_1), p(x_2) = f(x_2)
c大是用什麼脈絡去證明出P=L的?
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 08/06/2023 18:38:16
推 PPguest     : 我猜我看懂了c大推文的證明
→ PPguest     : 假設要滿足的條件是
→ PPguest     : P(x_1) = f(x_1), P'(x_1) = f'(x_1),...,
→ PPguest     : P^(m_1)(x_1) = f^(m_1)(x_1),
→ PPguest     : ...
→ PPguest     : P(x_n) = f(x_n), P'(x_n) = f'(x_n),...,
→ PPguest     : P^(m_n)(x_n) = f^(m_n)(x_n).
→ PPguest     : 已知滿足條件以及最高次方至多...的多項式 P*(x)
→ PPguest     : 是存在且唯一的。
→ PPguest     : 在 Hermite 的 table 會有 m_i+1 個 x_i,
→ PPguest     : 我們先把重複的點換成不同的點：
→ PPguest     : x_1, x_1+y_11,..., x_1+y_(1m_1),
→ PPguest     : ...
→ PPguest     : x_n, x_n+y_n1,..., x_n+y_(nm_n).
→ PPguest     : 把 P*(x) 對 x_1, x_1+y_11, ..., x_n+y_(nm_n)
→ PPguest     : 做 Newton form 的插值,且因(一般插值的)唯一性,
→ PPguest     : P*(x) = Newton form 形式的多項式。
→ PPguest     : 之後取極限讓 y_ij→0, 等號左邊還是 P*(x),
→ PPguest     : 等號右邊 Newton form 形式的多項式
→ PPguest     : (直觀上)會趨近 Hermite 形式的多項式,
→ PPguest     : 因此 Hermite 形式的多項式會滿足條件.