Re: [中學] 多邊形相似與三角形相似的條件差異

[deathcustom (Full House)]

※ 引述《martin7887 (martin)》之銘言：
: 國中在學相似的時候，當二圖形滿足：
: 1: 對應邊長均等比例
: 2: 對應角均相等
: 則可以說二圖形相似
: 可是為什麼到了三角形可以有 sss 相似？
: 我知道可以證明，但請問有什麼邏輯推理的方式可以說明？
: 謝謝

簡單來說可以從餘弦定理出發

餘弦定理：

對任意三角形具有

cosC = [a^2+b^2-c^2]/2ab

cosB = [a^2+c^2-b^2]/2ac

cosA = [b^2+c^2-a^2]/2bc

今給定另一三角形具有ka,kb,kc且設其三角為A',B',C'

根據餘弦定理可知

cosA' = k^2[b^2+c^2-a^2]/[2bck^2] = [b^2+c^2-a^2]/2bc = cosA

同理可知cosB' = cosB, cosC'=cosC

因此對於三角形，sss <=> AAA

回到你的問題

一般而言兩個圖形相似的條件是

1. 對應角均相等；且
2. 對應邊均成相同比例

這個證明只是在說

對三角形來說

1 if and only if 2

所以我上面才用了sss <=> AAA這個表述式
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正弦的話還要先證明對應外接圓成比例，我沒仔細想

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 211.23.191.211 (臺灣)
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※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 10/03/2023 15:00:47
推 arrenwu     : 我感覺從餘弦定理出發有循環論證的問題了？
→ arrenwu     : 弦函數要能被定義的前提就是三角形的AA相似性質吧？
→ wohtp       : 幾何就這點難搞：沒幾個人真的知道怎麼從歐氏公設推
→ wohtp       : 整套出來。我真不知道證這題什麼可以用什麼不能用。
→ wohtp       : 不過歐幾里得本人沒有三角函數可以用，這點是肯定的
→ wohtp       : 。
推 sunev       : SSS全等在幾何原本的proposition 8，算蠻前面就證的
→ sunev       : http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/
→ sunev       : propI8.html
→ sunev       : 順帶一提，law of sine在BOOK I的prop. 19
→ sunev       : law of cosine在BOOK II的prop 12
→ deathcustom : 不不不，PROP. VIII是在證明全等(equal)，不是相似
→ deathcustom : 相似相關的"Theory of Proportion"是BOOK V
→ deathcustom : 幾何原本中，相似三角形是BOOK VI, PROP. V
推 sunev       : prop 8.是在證sss就是全等，照定義全等就是相似啊？
推 ERT312      : 但是相似不一定全等
推 sunev       : 但我以為原來的問題是為什麼三角形sss就代表相似
推 ERT312      : 原po的問題是"為何三角形有SSS相似這性質"
→ ERT312      : 三角形SSS相似是指"若兩個三角形的三組對應邊成比例
→ ERT312      : 則這兩個三角形相似" 與三角形全等無關。
推 sunev       : 了解，謝謝說明。