Re: [中學] 複數的極式

[Honor1984 (奈何上天造化弄人？)]

※ 引述《hiu (閉門造愛)》之銘言：
: w = cos36度 + i sin36度
: 求 (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)=?
: 我的作法:
: 因為 w^5 = -1
: 乘開整理 經過一連串的計算  變成(w^3 + w^7) + (w^4 + w^6)
: 上式虛部剛好消掉 變成 -2(cos36度 + cos72度)
: 得到答案 負根號5
: 但如果沒有背cos36度 與 cos72度
: 這題後面就很麻煩
: 請問有沒有複數極式的做法 不需要背cos36度 與 cos72度
: 來做這題呢?

顯然w^10 = 1

(x - w)(x - w^2)...*(x - w^9) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^9)

(1 - w)(1 - w^2)...*(1 - w^9) = 10

=> (1 - w^5)|(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)|^2 = 10

=> |(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)|^2 = 5

又

(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)

= (w + w^4)(w^2 + w^3)

= -(1/w^2 + 1/w + w + w^2) < 0

所以(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = -√5

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推 kh749       : x^10-1的因式分解(x-1)(x-w)(x-w^2)…(x-w^9)。1+x^
→ kh749       : 2+…+x^9的因式分解如原po所述，因式分解是恆等式，
→ kh749       : 對於任意x, 等號左右永遠相等。所以當x=1時，左右亦
→ kh749       : 相等。