Re: [機統] 一題機率論(almost surely convergence

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《yuyuyuai (>0<)》之銘言：
: https://i.imgur.com/Mzx3qyQ.jpg
: 想了一整天想不太出來
: 感覺是用定義就能寫出來的題目
: 但不太理解隨機變數下標是一個隨機變數要怎麼用條件
: 長得很像subsequence的樣子，感覺可以用柯西數列來證明？
: 不知道有沒有大大能給個提示
: 非常感謝

我也滿久沒有寫這類型習題了 大家討論看看 :)

這裡主要用到的性質是「如果條件A可以得到條件B，則 P(A) <= P(B)」

(a)

M_n → ∞ Λ X_n → 0 可以推得 X_{Mn} → 0

所以 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) <= P(X_{Mn} → 0)

而這個題目裡面兩個 almost sure 性質則保證了

P(M_n → ∞) = 1 且 P(X_n → 0) = 1 ，
故 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) = 1

所以我們可以得到 P(X_{Mn} → 0) = 1，也就是 X_{Mn} → 0 almost surely.

(b)

這問題的目標是證明: 選定任何ε>0，我們都有 lim P(|X_{Mn}| > ε) = 0

所以我們就先選一個 ε>0 ....(1)

P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (X_n -> 0 almost sure) ...(2)

從 X_n → 0 這個條件，我們可以選一個正整數 Nε 使得
        |X_n| < ε for all n >= Nε  ................(3)

(2)+(3):
|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0 可推得 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε
所以 P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0)
  <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) ...... (4)

接著我們引入一個條件 Mn >= Nε

從(4)式可進而得到
  P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε)
=  P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε)
 + P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε)  ...(5)

現在我們來看 (5) 裡面兩個機率事件

|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε 這個事件不可能發生，
所以機率為零；

另一方面 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε)
      <= P(Mn < Nε)

所以 (5) 可以整理成

P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) <= P(Mn < Nε) ...(6)


將上面的式子全部組合起來：

                 (2)
P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0)
                 (4)
                 <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε)
                 (6)
                 <= P(Mn < Nε)  ...(7)

對(7) 兩邊取 n→∞

lim P(|X_{Mn}| > ε) <= lim P(Mn < Nε) = 0 (Mn->∞ in probability)  Q.E.D.


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.25.21 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1697979504.A.6B9.html
※ 編輯: arrenwu (123.195.25.21 臺灣), 10/22/2023 21:02:24
推 yuyuyuai    : 非常感謝！a搞懂了，b大方向知道在做什麼，現在在試
→ yuyuyuai    : 著自己把細節寫詳細
→ jack7775kimo: 最後上界P(w: M_n(w) < Nε(w))中,Nε這個從a.s.來
→ jack7775kimo: 的量會與w有關,所以還能取limit後=0嗎?
你說得沒錯 (b) 部分證明有問題 我想想怎麼改
※ 編輯: arrenwu (123.195.25.21 臺灣), 10/23/2023 10:09:00
推 xxxl1       : 只處理(b), (a)就套套定義就出來
→ xxxl1       : 用 X_n converges to X in prob iff
推 xxxl1       : for any subseq n_k, we can find
→ xxxl1       : subsubseq n_k_l such that
→ xxxl1       : X_n_k_l converges to X in prob
推 xxxl1       : 所以考慮 Given n_k, we can find
→ xxxl1       : n_k_l such that M_n_k_l converges to infinity
→ xxxl1       : almost surely
→ xxxl1       : Use (a), we can get X_(M_n_k_l) converges to 0
→ xxxl1       : almost surely
→ xxxl1       : This implies X_(M_n_k_l) converges to 0 in prob
→ xxxl1       : Since n_k is arbitrary, we have
→ xxxl1       : X_(M_n) converges to 0 in prob
→ yuyuyuai    : https://i.imgur.com/G2F8yOb.jpg
→ yuyuyuai    : 不太確定這樣有沒有什麼細節沒寫好
推 krad        : 這個Nε應該跟樣本點有關 不能這樣做吧
推 xxxl1       : yuyuyuai寫的照片那個 (a)(b)應該都是錯的
→ xxxl1       : 對於converges a.s.的定義理解應該是錯的