請教一題三角形最小周長

[rfvbgtsport (uygh)]

已知直線    過（3，1）且和X，y軸在第一象限圍出直角三角形，求此三角形最小周長？

請教大大們，此題列截距式後，該如何解？謝謝

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→ yhliu       : 用點斜式,求 x, y 截距,得周長,最小化.
→ rfvbgtsport : 可是斜邊是根號，要怎麼處理？
推 Starvilo    : (a+b+(a^2+b^2)^0.5)>=(a+b)(1+1/2^0.5)檢查等號條
→ Starvilo    : 件且3/a+1/b=1 ,a=b=4剛好滿足條件？
推 Starvilo    : 我再想想～
→ Starvilo    : 因為a+b未必最小
推 Starvilo    : 科西三角可解，但答案很醜！
→ musicbox810 : 請問科西解怎麼解？好奇
推 Starvilo    :  https://i.imgur.com/qcAyIyW.jpg  https://i.im
→ Starvilo    : gur.com/h78Y9M0.jpg
推 Starvilo    :  https://i.imgur.com/5ZhGuet.jpg
→ Starvilo    : 難算== 不過應該是考旁切圓
→ musicbox810 : 謝謝星海大，真的好醜。另外想請教一下為何(3,1)是
→ musicbox810 : 切點?如果不是切點，怎麼知道半徑更大，有幾何圖解
→ musicbox810 : 證明嗎?
推 Starvilo    : 因為直角三角形周長等於旁切圓半徑2倍，（3，1）只
→ Starvilo    : 可能在切點或圓外，在圓外的距離一定大於在切點的
→ Starvilo    : 距離，所以r越小周長越小（斜線大於圓心到切點距離
→ Starvilo    : ）
→ musicbox810 : 謝謝星海大，了解囉
→ musicbox810 : 想想還是有個點過不去，如果切點不同，圓心位置也不
→ musicbox810 : 同，d(圓心1,P)>r1，d(圓心2,P)=r2，圓心1、2位置
→ musicbox810 : 不同，要怎麼得出r1>r2呢？
→ rfvbgtsport : 謝謝大大們
推 Starvilo    : 假設切點A，d(O,P)>=d(O,A)=r ,顯然P=A r最小
推 Starvilo    :  https://i.imgur.com/rqffNCq.jpg
推 Starvilo    : 對同一點p可以很多r,但如何使r最小，可發現在切點
→ Starvilo    : 最小
→ Starvilo    : 同一直線才對
推 Starvilo    : 旁切圓是跟三邊都是切
推 Starvilo    : 上面同一直線寫錯==，原本是對的，簡單來說可以透
→ Starvilo    : 過距離不等式求r range ,Rmin發生再切點
→ musicbox810 : 謝謝星海大，用不等式求解r的range，這個我聽懂了