Re: [中學] 兩線段比例的極值(三角和向量)

[Honor1984 (奈何上天造化弄人？)]

※ 引述《choun (原來跑步這麼舒服)》之銘言：
:    https://imgur.com/a/4P3sxIF
:    第一張圖是上上週在這裡問過大大們的，有Starvilo、Vulpix、deathcustom 等大大
:    給了許多好方法算出來答案，萬能k法、分母化型的算幾~~ 謝謝大大們
:    最後是由 deathcustom大大發現此四點共圓的觀察！
:    ======
:    第二張圖其實也是我之前問過大大們的，可能是幾個月前吧…
:    我後來回去看才發現根本是同一題，這次我用四點共圓的方式來做！簡單明瞭！
:    酷~~~
:    ======
:    但是我完全證明不出來，為什麼P點跟ABB' (或BAA') 共圓時，兩線段的比例會有
:    極值…   想了一個星期了… 還是想不出來…
:    所以整理一下兩題的題目跟細節想請大大們有空幫忙給點線索！！
:    謝謝！！！

不需要特別提到B對L的對稱點B'，否則為何不提A對L的對稱點B'？

這個問題本來就是對L對稱的，ABB'A'四點共圓也是必然的。

且那已經隱含直線L是△ABB'的BB'的中垂線，必過圓心

我們要證明的是以下命題：

直線L的一側有點A、點B，過該二點且圓心V在直線L上的圓交L於T、S，

靠近A的T是PA/PB的極小值，靠近B的S為是PA/PB的極大值。

證明：

這邊只需要證明T的部分，因為另一部分仿照流程做就好。

在AB的A側做阿波羅尼奧斯圓O，當該圓與直線L相切於W時有PA/PB極小值 = m/n

這邊要特別注意極小值 < 1，極大值 > 1，所以m/n =/= 1

令AB = d，圓O交AB於D。則AD : DB = m : n

利用阿波羅尼奧斯圓本身的定義，可計算出其半徑R = mnd/(n^2 - m^2)

OA = [d/(n^2 - m^2)]m^2 ，OB = [d/(n^2 - m^2)]n^2

=> OA * OB = R^2

設W在圓外，O對圓V做靠近W這一側的切線，其切點W'必在直線L的另一側

=> OW' > OW，矛盾

設W在圓內，O對圓V做靠近W這一側的切線，其切點W'，OW' = OW

過W'做垂直OW'的直線L'會交直線L於W遠離圓V的外側，就是與圓O圓心的相反側，矛盾！

這個證法至少有兩種，請自行練習。

所以W在圓V上 => W = T

原命題得證！

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→ Honor1984   : 這個結論亦適用於一點或兩點在直線上的狀況
→ Honor1984   : 第一行:...否則為何不提A對L的對稱點A'？
推 Vulpix      : 有定理：阿波羅尼斯圓跟過A,B的圓正交。
→ musicbox810 : 請問V大這個定理的名稱或是哪些書籍可找到？謝謝
推 Vulpix      : 可以直接以A為中心反演，反演圓選誰都無所謂。