Re: [離散] relation相關問題

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《amamoimi (佛仔)》之銘言：
: 課本上有一個題目
: suppose that R is a relation on X that is symmetric and transitive but not reflx
: ive. Suppose also that |X| >=2. Define the relation P (課本上寫R bar 但是我打不
: 出
: 來）on  X by  =X× X-R. Which of the following must be true? for each false state
: ent, provide a counterexample.
: a.  P is reflxive
R 不是 reflexive, 表示存在 x in X s.t. xPx, 但
並非表示 for all x in X, we have xPx.
也就是說 P 並非一定 reflexive。舉個反例就是答案。

: b.  P is symmetric
Ｒ 是 symmetric, 所以
若 xPy 則 not xRy 則 not yRx (否則 xRy）
也就是 yPx。
所以 P 是 symmetric.

: c.  P is not antisymmetric.
Antisymmetric 是說 xPy 且 yPx 則 x = y.
也就是說：若 not xRy 且 not yRx 則 x = y?
顯然是不一定的，
只要 X 中有 x != y 使其不具 R 關係，
就是 xPy 且 yPx，但 x != y。
據此舉個反例即是。

: d.  P is transtive.
xPy, yPz 當然不一定 xPz
因為可以 xRz, 但 x, z 都與 y 不具 R 關係。
這就是反例，只是舉 X 中三個不同元素；甚至可以 x = z,
也就是說 |X| = 2 也成立，並不限於 |X| = 3.

: 課本的解答是直接用X={1,2,3}當例子去解，
: 錯誤的是可以直接舉出反例沒問題，但是正確的這樣做應該不算證明吧？
: 想問這題有沒有更精確的證明方式呢？
: 謝謝
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: ※ 編輯: amamoimi (180.217.5.40 臺灣), 11/04/2023 22:29:14

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推 amamoimi    : 謝謝大大 明白了！
→ musicbox810 : not xRy在這裡是指x和y沒有R的關係嗎?
→ yhliu       : 是的。
→ musicbox810 : 謝謝yh大
推 amamoimi    : 欸等等 不過解答c.是對的耶（沒解釋）
→ yhliu       : 對啊！舉反例說明不是 anti-symmetric