Re: [中學] 連續正整數集合

[DreamYeh (天使)]

※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: 設a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8為8個嚴格遞增的正整數
: 且集合 {|ai-aj| : 1≦ i,j ≦ 8 && i≠j} 為18個連續正整數組成的集合
: 求a7 - a2 = ?
: 原題圖片支援：
: https://i.imgur.com/ehmC891.jpeg
: （我有求出一些數列合乎條件，但不知有否通解，如a1~an其中
:   若干項的差構成m個連續正整數集合）

賺批幣的時間來囉！記得看到最後

說明一下本題在我的分析，歡迎做數學研究，更歡迎討論

首先出處為
斗六高中舉辦的綠城盃數學競賽 107年考題
https://drive.google.com/file/d/18xvLChD9cRWT2wmfOoBqrCn9jTwdfFMc/view
填充題第二題

首先應該大家都可輕易找出一個簡單分析：

如果a1,a2,a3.....a8是一組合乎題意的解
則a1+m, a2+m, a3+m,. .... ,a8+m （m為任意整數）
也會是一組解
（因為計算的判定都是|ai-aj|）


因此在以下各組解中，不失一般性假設a0=1
這樣的假設可幫助我們更簡單分析規律性


最開始我做這一題，很簡單就從「連續數列與等差級數」來求解

很簡單可找到公差為5的狀況：
(5a+1 case)
a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5
a6=11
a7=16
a8=19

簡單證明他的|ai-aj|包含連續正整數1~18
1=2-1
2=3-1
3=4-1
4=5-1
5=16-11
6~10=11 - 5,4,3,2,1
11~15=16 - 5,4,3,2,1
16~18=19 - 2,1
（容易看出，要挑選到差為1-20也很簡單，令a8=21即可，這也是原先的公差）

因此a7-a2=16-2 = 14(#)

=================以為得解其實還沒完呢分隔線========================

然而對照答案，發現竟然不對！！！

這時我矇了～

這可是數學競賽題目呀！解答怎會有錯？一定是我出錯！

但回來怎麼看也覺得我得到的數列合乎題意。

這....難道有第二組解？
我們立刻回來看！剛剛公差設為5，可不可能有4呢？

答案是.....有的

解答立即寫為
a1~a8  (4a+1 case)
a1=1,a2=2,a3=3,a4=4

a5=9
a6=13
a7=17
a8=19

要證明|ai-aj|包含1-18正整數也完全相似
1~3用4和3,2,1去減
4=13-9
5~8用9和4,3,2,1去減
9~12用13和4,3,2,1去減
13~16用17和4,3,2,1去減
17=19-2
18=19-1
(也同樣改一下a8就可以湊出17~20、這邊是為了合乎題意)

在這情況下，a7-a2=17-2=15

這就是原本題目給的答案了

＝＝＝＝＝＝＝＝＝但還是沒完＝＝＝＝＝＝＝＝＝

還有沒有其他組解？
使用公差3可得以下這組解
a1~a8  (3a+1 case)
a1=1,a2=2,a3=3
a4=7
a5=10
a6=13
a7=16
a8=19
證明 |ai-aj|可得1~18的方法類似，因此不再證明
這也顯然是一組無法反駁的解，a7-a2 = 14

＝＝＝＝＝＝＝怎會這樣分隔線＝＝＝＝＝＝＝

之後為避免我弄錯題目，因此我有將這一題給一個數學系高手解

他用的思路跟我不同，最後得出以下兩組解
1 2 3 4 5 11 16 19
1 2 3 4 5 10 15 19

很遺憾的a7-a2也一樣有不同可能，14 or 13!


因此可得，這一題數學競賽命題，是個有瑕疵的命題！

他同時有不同解答，且難以反駁哪一個是對的。
不排除印刷錯誤的可能，但以目前線索，確實得到此結論

＝＝＝＝＝＝＝＝延伸思考＝＝＝＝＝＝＝＝

（挑戰！）

1.有沒有可能僅用七個數a1,a2,....,a7
  得到與原題目條件相同的數列？
  也就是|ai-aj| 包括 1-18的不同組合？

  這邊先簡單排列組合一下，C7取2，可以有21種挑選ai,aj
  的方法

  但是否能順利排出1到18不同的數？

  目前找不到解答、但也無法證明辦不到
  以下給個嘗試失敗的數列：
  {1,2,4,7,11,15,19}   (差為12排不出來、其餘1～18都排得出)

  這一題解出者(或證明辦不到)，懸賞500批幣


2.給8個數字，{a1,a2,.......a8}

  排出|ai-aj|=1～28的變化

  也就是認定原本題目為印刷錯誤，因此問是否真有這種可能？

  由於C8取2為28，最多就是28種差值變化，但你排看看就知道，
  目前個人嘗試最多的變化就是前面提到的

  1,2,3,4,5,11,16,21，任兩個數差值所構成的集合，
  恰好為1到20的連續正整數序列

  你是否能排出更大的連續整數（例如1到25、甚至1到28）呢？
  （同樣懸賞500） 




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推 LPH66       : 就記得有印象看過類似的東西, 找到關鍵字了:
→ LPH66       : Golomb ruler
→ LPH66       : 雖然這東西跟本題要的有點不同, 但應該有點相關性
→ LPH66       : (Golomb ruler 要求所有差都相異, 這題只要連續差)
推 AquaCute    : 2.1~28辦不到 設a1 = 1; a8 = 29
推 AquaCute    : 阿 等我一下 應該會改用回文的
→ DreamYeh    : 感謝L大 還以為這一題已經分析太複雜沒人理了QQ
推 AquaCute    : 解了2.的一部分 想請問用程式輔助能領p幣嗎
→ DreamYeh    : 可以呀XD
推 AquaCute    : 已更新兩題解答於回文