Re: [中學] 多項式函數

[emptie ([ ])]

※ 引述《goodwang (手牽手一起去奔跑)》之銘言：
: https://i.imgur.com/IVn6oLf.jpg
: 以代入整數點來說是log以2為底，真數為x的函數
: 但要多項式函數，是跟馬克勞林級數有關嗎？
: 請問這題如何解決？謝謝

可以把原本的問題改寫成這樣

x的2023次方程式： f(2x) = f(x) +1
的解有 1,2,4,8,...2^2022 ，共2023個

整理後得到
f(2x) - f(x) -1 = 0
而這個方程式應該要等價於
k(x-1)(x-2)(x-4)...(x-2^2022) = 0

注意 f(2x) - f(x) 的常數項已經被消掉了，
故上面方程式的常數項 = -1

令S = 1+2+3+...+2022
下面的方程式常數項
 -k(2*4*8*...*2^2022) = -1
得到 k = 1/2^S

f(2x) - f(x) 的x項係數就是f(x)的x項係數
（2倍-1倍 = 1倍）

k(x-1)(x-2)(x-4)....(x-2^2022) = 0  的x項係數則是

k*  (   2*4*...*2^2022 +
      1*  4*...*2^2022 +
      1*2*  8*...*2^2022 +
           .
           .
           .
      1*2*4*...*2^2021      )

也就是
k*( 2^S + 2^(S-1) + 2^(S-2)+...+2^(S-2022) )

而連續2的次方加總可以如下化簡
例如 2^8+2^7+2^6
    =2^8+2^7+(2^7-2^6)
    =2^8+2^8-2^6
    =2^9-2^6

也就是說
k*( 2^S + 2^(S-1) + 2^(S-2)+...+2^(S-2022) )
= k*( 2^(S+1) - 2^(S-2022) )

把 k = 1/2^S代入

(1/2^S) *( (2^(S+1) -2^(S-2022) )
=2 - 2^(-2022)
=2 - 1/ 2^2022


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推 GameKnight  : 觀察到常數項應為-sigma(1/(2^k-1)),k=0~2023，
→ GameKnight  :  所以可以用類似方法算出嗎，還是只能用克拉瑪？
→ GameKnight  : k=1~2023才對
推 cuteSquirrel: 猛
推 goodwang    : 厲害，感謝