[其他] 由a＊y=δ特解找a＊y=x特解問題

[znmkhxrw (QQ)]

 
請教一個由delta函數的特解求得general函數特解的問題
我會先在【定義與前因】敘述定義、觀察與問題,
在由【實際例子】去觀察我遇到的現象
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【定義與前因】 
 
令
a :Z→R為一數列, 滿足a_0=1
                     a_N!=0, N>=1
                     a_n=0, else n
x :Z→R為一數列
δ:Z→R為delta函數, δ_0=1, 其餘為0
 
* :乘法
＊:摺積
S_x := {y:Z→R│a＊y=x}, 為滿足a＊y=x的解y所形成的解空間
y_x := S_x中的一個元素, 只是符號讓我不用一直打"a＊y=x的特解"
 
(a＊y=x寫開就是y_n+a_1*y_(n-1)+...+a_N*y_(n-N)=x_n, N階非齊次線性遞迴方程)
 
P.S. 通篇若有收斂性討論只定義在逐點收斂, 不把l^p定義放進來比較乾淨 
     而且能適用的解空間最廣 
 
接著很容易推導得: 若x有緊緻支撐, 則y€S_δ=> y＊x€S_x 
也就是說, 你要解任何a＊y=x的特解, 其實你都只要知道a＊y=δ的特解即可
只要把y_δ去跟x做摺積就會是a＊y=x的特解 
 
我的問題在於, 如果x沒有緊緻支撐, 那y_δ＊x很容易不收斂,
這樣y_δ還能幫助我們得到y_x嗎?
 
之前板友提到就像實變那樣把x乘上一個特徵函數χ_[-M,M]讓他具有緊緻支撐
然後再把M趨近於無窮大, 今天我用實際例子做一遍時發現有機會但是沒那麼穩定 
即乘χ_[-M,M] or χ_[-2M,2M] or χ_[-2M-1,2M+1]甚至會有差別
 
所以才想問這問題有沒完整的答案, 還是x非緊緻就是會有各種事情發生
 
By the way, 易證得: 令x^M := x*χ_[A(M),B(M)], A(M)趨近於-∞, B(M)趨近於∞
                    若 y_δ＊x^M 逐點收斂, say Y
                    則 Y會是a＊y=x的特解
 
也就是說, 今天你取的特徵函數如果夠好, 讓他跟x相乘後再去跟y_δ做摺積是收斂的
那這個收斂後的數列就會是a＊y=x的特解 
 
 
【實際例子】 
 
令N=1, a_N=1
  １為全部都是1的數列
 
則a＊y=x <=> y_n+y_(n-1) = x_n, 一個簡單的一階非齊次線性方程
 
當x=δ時, (y_δ)_n := 0         , n>=0 為a＊y=δ的特解
                      (-1)^(n+1), else
 
當x=１時, (y_１)_n := (1/2)*(1+(-1)^n) 為a＊y=１的特解
 
接著就能觀察到幾件事:(配合 https://www.desmos.com/calculator/ke87t1igh5
                      拉動M滑桿可以模擬M→∞)
 
(1) y_δ＊１不收斂: 因為y_δ＊１照定義寫出來會變成一堆+1與-1相加, 值跳來跳去
                    提醒一下, 如果今天x有緊緻支撐, 那y_δ＊x絕對沒問題, 而且
                    就會是a＊y=x的特解
 
(2) 對１乘χ_[-M,M]:
 
    令１^M := １*χ_[-M,M] = χ_[-M,M]
    則y_δ＊１^M就是a＊y=１^M的特解沒問題
    然後把逐點(for each n)把M逼近到無窮大
    我們得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^M)_n 一直震盪不收斂
    參考連結中的y_M點列
 
(3) 對１乘χ_[-2M,2M]:
 
    令１^2M := １*χ_[-2M,2M] = χ_[-2M,2M]
    我們得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^2M)_n = (1/2)*(1-(-1)^n)
    確實是a＊y=１的特解
 
(4) 對１乘χ_[-2M-1,2M+1]:
 
    令１^2Mp1 := １*χ_[-2M-1,2M+1] = χ_[-2M-1,2M+1]
    我們得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^2Mp1)_n = (1/2)*(1+(-1)^n)
    確實是a＊y=１的特解
 
有了以上觀察, 對我來說(3)跟(4)雖然收斂到不同的特解, 但是只要是特解我就OK
而(2)就有點慘不收斂, 不過卻發現他的不收斂的震盪是在兩個特解中震盪...
感覺又沒那麼慘, 存在子列是特解的感覺
 
也就是因為這個例子, 讓我說取特徵函數χ_[?,?]這個方式不太穩定
取得好就是特解, 取不好就不收斂, 但是即便不收斂好像又能貢獻出些訊息
 
我猜測是因為這個例子比較簡單, 說不定有怎麼取特徵函數都不收斂的例子XD?
 
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以上是我對這個問題的描述跟觀察
 
再請有涉獵的板友解惑一下, 感恩!
 
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.241.88.179 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1700156785.A.709.html
※ 編輯: znmkhxrw (123.241.88.179 臺灣), 11/17/2023 02:06:45
推 Vulpix      : 你的例子需要的是把１拆成...,0,0,1,1,1,...跟
→ Vulpix      : ...,1,1,0,0,0,...然後各自跟不同的y_δ捲積。
→ Vulpix      : 再把他們加起來就好。（他們的DOC不同。）
 
嗨V大, 這樣拆的話, 令x1=…000111…., x2=…111000…, 則y_delta跟x1摺積發散, 跟x2?
積爲0耶@@?
 
※ 編輯: znmkhxrw (123.241.88.179 臺灣), 11/17/2023 05:09:33
推 Vulpix      : 所以你要的是在古典意義上的捲積嗎？我以為z轉換過
→ Vulpix      : 去再反轉換回來的那種你也OK。
 
嗨V大, 對a * y = delta做z轉換過去再轉回來可以解得不同收斂區域的特解h沒錯, 任取其
中一個h的話, 只要x有緊緻支撐, h * x就會是a * y = x的特解, 但是一旦x沒有緊緻支撐?
h * x很容易發散
 
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.116.193 臺灣), 11/23/2023 14:54:08
推 Vulpix      : 如果把z轉換叫做Z，反轉換叫做W：
→ Vulpix      : 我是說把W( Z(x_2)Z(y_δ) )直接當成是x_2＊y_δ。
→ Vulpix      : 當然如果要把Z(x_2)他們「加好」的時候會有收斂範
→ Vulpix      : 圍的問題。
→ Vulpix      : 這邊他應該是1/(z-1)。
 
對 有問題的地方會是一樣的 你的例子中的x_2就是我的全1的數列 自然Z(x_2） 毫無收斂?
區間 用WZ的方式一樣無法繞過去
 
後來我用l^1的h後, x就可以放寬到所有有界數列, 算是可以接受的範圍. 而且l^1的h的存?
性只要特徵多項式沒有絕對值為1的零點就可以找到l^1的h
 
原本我是想知道有沒有什麼《不刻意》的a跟x的條件可以讓a * h = delta的h * x都能是a
* y = x的解. 原文中的條件《a不限定, x有緊緻支撐》我覺得範圍太狹隘了 因為實用上濾
波器的x幾乎都沒有緊緻支撐甚至是週期函數, 所以才發問, 後來上面那段說到《a特徵多項
式沒有絕對值為1的零點, x有界》也是一組充分條件, 這組條件在濾波器幾乎都符合, 因此
我覺得可以接受
 
如果V大有其他的feedback再分享, 謝謝!
 
 
 
 
※ 編輯: znmkhxrw (36.230.129.62 臺灣), 11/23/2023 19:18:24
推 Vulpix      : 這個案例沒有「l^1的h」吧。
嘿對, 所以我目前放棄那些沒有l^1的h的a, 覺得這樣的a是不穩定的而且蠻少的尚可接受XD

 
※ 編輯: znmkhxrw (42.79.35.11 臺灣), 11/25/2023 22:57:14