[代數] 一個國中代數的複數解可能性疑問

[ozobrian (圍牆)]

先說問題，以免我等下廢話打太多
若a、b、c皆為正實數、d、e皆為實數
且a>b、c<(a^2-b^2)^0.5
是否存在x=d+ei滿足
(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c
若存在，那解(d,e)是否存在通解?




---------------------以下問題來源(不是很重要)
這問題來源自近期無聊看到一個的問題的延伸

一開始是
(16-x^2)^0.5+(9-x^2)^0.5=5
求解x

解法應該挺多的
我自己第一時間想到的解法是
畫兩個圓心在(0,0)，半徑分別是3、4的圓
再加一條垂直線x=a切過兩圓
交大圓於(a,?)、交小圓於(a,-??)
然後就會發現是個直角三角形
a則是會是該三角形的高，加正負號就是本題解

後來則想了想，如果把16、9、5改成a^2、b^2、c
那這題是否有通解?
即(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c
若a、b、c皆為正實數，x是否存在通解?
由於上面的解法，不難推導出通解
x=[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]^0.5 / 2c
即三角形三邊長面積公式*2/底

可是這算法是建立這個xy平面的圖畫得出來的情況
也就是說，若x存在實數解才成立才對
所以其實必須有c>=(a^2-b^2)^0.5 (假設a>=b)
因此用a=4、b=3、c=2代入通解後就會發現錯誤

因此繼續思考
那x是否可能為虛數解?
但這就超出本人數學能力
所以才有了最上面的提問


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→ musicbox810 : a=4、b=3、c=2為什麼錯？
代入後題目變成
(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c
>> (16-x^2)^0.5+(9-x^2)^0.5=2

通解變成
x=[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]^0.5 / 2c
=(9*5*3*1)^0.5/4=根號(135)/4

反代回去題目變成
(16-135/16)^0.5+(9-135/16)^0.5=11/4+3/4=7/2=/=2


從我上面說的幾何方式作圖會發現作出一個三角形(兩個半徑+x=k的線)
且當k=b的時候(直線與小圓相切)時 會是c的最小值
若題目c小於(a^2-b^2)^0.5則畫不出該直線


從代數角度來看，對於f(x)=(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5方程
若a>=b的話
x=b的時候會有最小值
此時f(x)=(a^2-b^2)^0.5
因此如果c小於(a^2-b^2)^0.5時，x不存在實數解
※ 編輯: ozobrian (123.194.169.50 臺灣), 01/01/2024 19:40:31
推 LPH66       : 你有注意到的話, 在你代回去不合的那裡
→ LPH66       : 11/4+3/4 = 7/2≠2, 但 11/4-3/4 = 8/4 = 2
→ LPH66       : 因此這裡某種程度上是方程兩邊平方造成的增根
→ LPH66       : 既然問題在平方增根, 那來到複數討論只會更複雜
→ LPH66       : 因為到了複數我們已經沒有「寫√表示正值」的約定了
→ LPH66       : 會需要考慮根號要取哪個平方根才能在方程轉換時正確
→ ozobrian    : 對 我有在返算時發現增根問題 因此才會想到複數
→ ozobrian    : 但複數取根號的部分就想不到怎麼運算了