[微積] 一題超級難的類微分與最佳化問題

[alan23273850 (God of Computer Science)]

如題，本魯剛修完臺大的 information theory 課程，期末考 3(b) 用 KKT 解最佳化

不但某個 case 的反函數沒有 closed form，而且本題只配 8 分，好這不是重點。

我最後餘下的問題是，給你一個 obj = log2(1+r+r^2+...+r^d) - log2(r)*B，

其中 d 是非負整數，且 0 <= B <= d/2 (這個上界我猜不需要)，且 r >= 0 必須滿足

1*r^1+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d = B * (1+r+r^2+...+r^d)，

已知如果定義 f(r) := (r+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d) / (1+r+r^2+...+r^d)，
則在 r >= 0 之下 f 嚴格遞增，言下之意 f(r)=B 有唯一解 r。
事實上，f(0) = 0，f(1) = d/2，f(inf) -> d.

那現在我想知道的是，維持一定的遊戲規則，當 B 固定，d 增加的時候，obj

會保證增加嗎？是否有反例？這個缺口補上之後，這一題的檢討才算真正完畢。

豐厚批幣款待，穴穴各位！

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.218.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1705417885.A.947.html
※ 編輯: alan23273850 (140.112.218.58 臺灣), 01/17/2024 00:29:49
→ alan23273850: 我好像解出來了，答案是肯定的！我把原 obj 用連鎖
→ alan23273850: 率以 r 為中間變數對 B 作微分之後，運用反函數的
→ alan23273850: 微分公式消去一些項之後，剩下 -log2(f^-1(B))，又
→ alan23273850: 根據 f 的函數圖形，B 固定的時候 d 遞增則 f^-1(B
→ alan23273850: ) 遞減則 -log2(f^-1(B)) 遞增，此現象對每個 B 都
→ alan23273850: 如此，因此 obj 從原點出發的時候就永遠是大的 d
→ alan23273850: 贏了！
→ alan23273850: 事實上 B 還必須 > 0 才行
→ alan23273850: 如果還要更細緻的討論的話，就是這個函數在 B=0 和
→ alan23273850:  B>0 之間也許沒有連續，所以如果只依賴 B->0 時的
→ alan23273850: 函數值 -> 0 for all d 的話，要怎麼 claim 大 d
→ alan23273850: 的函數值較大還是個問題...
→ musicbox810 : 請問你們課本是用哪一本？
→ alan23273850: 老師開口閉口都是 cover & thomas，還有另外幾本比
→ alan23273850: 較次要的
→ musicbox810 : 謝謝，我最近也想學一些動態最佳化
→ alan23273850: 那是 information theory 的課本不是 optimisation
→ alan23273850:  專書
→ musicbox810 : 謝謝，弄錯了，真尷尬><
→ alan23273850: 最後終於把整個問題全劇終，從原點極限搭配向右出
→ alan23273850: 發的大小關係便可以 implies 函數永久的大小關係，
→ alan23273850: OBJ 跟老師從作業結論 reduce 過來的解一模一樣，
→ alan23273850: 老師真的猴腮雷！這小題的檢討我寫了四面答案卷，
→ alan23273850: 希望其他題不會讓我這麼崩潰
→ alan23273850: * 20F：向右出發的「斜率」大小關係
→ alan23273850: 然後 B = 0 有唯一解 0
推 raiderho    : 1.「維持一定的遊戲規則」是什麼意思？2.建議交代一
→ raiderho    : 下題目背景，或者乾脆寫出整個第四大題，這種較複雜
→ raiderho    : 的題目，更需要給別人參與討論/解決問題的動機