[中學] 成大入學題 四個實根證明b

[DreamYeh (天使)]

題目出自成大數學系112年學士班申請入學

數學科筆試，其他各題目都能解很快，這一題不知為什麼卡住

題目：
設a, b為實數，且x^4 - 4x^2 + ax + b  = 0 有四個實根

試證明：|b| <=2







我的證明法（非解答，僅供參考）

原式可寫為
(x^2 + sx + t ) (x^2+ ux +v)
其中s, t, u, v都是實數

又由三次項可得 s + u = 0 以此簡化原式為
(x^2 + sx + t ) (x^2 -sx +v)

二次項可得 -s^2 + t + v  = -4
常數項可得 tv = b

一開始想動用算術幾何不等式，但那要t,v都>0才行

可去想 b = tv <= (t^2+v^2 + 2tv)/4  （移向可得 (t-v)^2 >0 這在實數皆成立 )
            b <= (t+v)^2/4 = (-4+s^2)^2 / 4 = (4-s^2)^2 / 4  < (4)^2 / 4 = 4
因此|b| <= 4



然而這想法又感覺蠻繞，而且最後居然是證明<=4而非題目說的<=2

因此詢問是否有更簡潔易懂且嚴謹的證明

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推 inch01742   : 你把題目改成x^4-4x^2=-ax-b，相信就會明白了
推 inch01742   : 不過這樣看起來應該是|b|<=4
推 Bugquan     : 用韋達定理吧
推 Vulpix      : 是啊，四根平方和是8。後面就接算幾了。
→ DreamYeh    : 感謝 不過無論從一樓圖形解、韋達到算幾、我的算法
→ DreamYeh    : 看來都要改成 證明|b|<=4了？也就是題目有誤？
※ 編輯: DreamYeh (122.116.174.47 臺灣), 01/30/2024 09:58:58
推 Vulpix      : 2是不可能的。a=0、b=4就有四個實根了。