[中學] 三角函數

[hiu (閉門造愛)]

題目:
鈍角三角形ABC  其中角C為鈍角
BC邊長為1  AC邊長為 根號2
求sinA的範圍


我計算出來的答案是: 0 < sinA < 根號3分之1

我用兩種方法來算

第一種方法是畫圖來想
既然角C是鈍角 當角C極度接近90度的時候 此時角A最大
若姑且把角C當成直角 此時可很簡單的由畢氏定理算得sinA=根號3分之1
再加上角A一定大於0度 所以sinA>0
綜合上述 可知 0 < sinA < 根號3分之1


第二種方法
先令角C的對邊邊長為x (利用餘弦定理 可得x^2的範圍為: 3 < x^2 < 3 加 2根號2 )
接著再利用餘弦定理的計算 可把sinA寫成x的函數
即sinA= [ (-x^4 + 6x^2 - 1)/ 8x^2 ] ^0.5
把sinA對x作微分 可求得 0 < sinA < 根號3分之1


但上面這兩種方法
第一種方法感覺很直觀 卻不嚴謹
第二種計算太麻煩


想請問有沒有其他利用三角函數計算(例如疊合之類的)的算法
來求這一題呢?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.21.221 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1706866541.A.801.html
推 deathcustom : 第一種哪裡不嚴謹？嚴格遞增、極限證明上界
請問要怎麼證明: 隨著角C的角度越小時 角A會越大?
※ 編輯: hiu (1.160.21.221 臺灣), 02/02/2024 19:30:48
→ musicbox810 : 嚴格遞增、極限？確定這是第一種作法?
推 deathcustom : 角C角度越大，角A角度越小，證明如下
→ deathcustom : 考慮三角形ABC外接圓，角A、角B、角C分別為圓周角
→ deathcustom : 根據定理，圓周角角度=所對弧角度/2
推 deathcustom : 並根據正弦sinA/sinB = BC/AC =定值
→ deathcustom : 因此角A與角B的sin值只能同增或同減
→ deathcustom : 角C增加=>角A與角B對應弧之和減少, vice versa
推 deathcustom : 由上述可以推得sinA與sinB極大值出現在C 90度
→ musicbox810 : C增大，A+B減小，A<B，但是A:B並不是定值，能夠推出
→ musicbox810 : A嚴格遞減嗎?有點怪怪的，中間是不是還有東西沒證?
→ musicbox810 : 還有圓周角性質有用到嗎?當C改變，外接圓也會變
推 deathcustom : C改變外接圓改變，但是C的對應弧AB變大，弧BC+弧AC
→ deathcustom : 就會變小，又由於sinA/sinB是定值，因此只能同增同
→ deathcustom : 減，考慮弧AC+弧BC的和在角C(從90度)漸增的狀況下是
推 deathcustom : 嚴格遞減，sin函數(sinA,sinB)在(0,90)是單調增函數
推 Starvilo    :  https://i.imgur.com/W9spu2k.jpg  https://i.im
→ Starvilo    : gur.com/PQw5zKu.jpg
推 Starvilo    : 最後面為*<*
→ Starvilo    : 1/2（1*sqr2)sinc <1/2(1*sqr2)
推 Starvilo    :  https://i.imgur.com/zXX8xYr.jpg
→ musicbox810 : 我好像懂了，謝謝