Re: [中學] 轉移矩陣機率

[mantour (朱子)]

※ 引述《s89180 (Derekingdom)》之銘言：
: 請教各位：此題感覺可以利用轉移矩陣算出，P能夠算出來，但P'結果不如我所想，為何
: 這裡不能用轉移矩陣呢？
: https://i.imgur.com/u4gLZNP.jpg
: 下圖為解答
: https://i.imgur.com/2XeYxyi.jpg
: 我有確認轉移矩陣的定義：
: https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=51085
: 此題為111學測第五題
: 謝謝大家

題目要算的是 "已知篩檢n次結果為陰性者，事實上為染病者的條件機率"

假設第n次篩檢前, 染病機率為Pn-1, 未染病的機率為 Qn-1 = 1 - Pn-1

知道篩檢結果為陰性後, 染病的條件機率為Pn,  未染病的條件機率為Qn = 1-Pn

利用貝式定理, 可得

Pn = Pn-1 * 0.2 / (Pn-1 * 0.2 + Qn-1 * 0.6)  ......(E1)

Qn = Qn-1 * 0.6 / (Pn-1 * 0.2 + Qn-1 * 0.6)  ......(E2)

由上式可知 (Pn-1,Qn-1) ->  (Pn, Qn) 並不是一個線性關係

因此也就無法寫成轉移矩陣

這裡可以直接疊代

(P0, Q0) = (0.3, 0.7) =>
(P1,Q1) = (0.125,0.875) =>
(P2,Q2) = (0.0455,0.955) =>
(P3,Q3) = (0.0156,0.984)
P1/P3 ~ 8

但是 !!!!

其實(E1)和(E2)可以很容易改寫成線性的疊代關係

令 On = Pn/Qn, 稱為陰性n次後為感染者的Odds (中譯: 發生比 or 勝算)

則 (E1) / (E2) 即可得

On = 0.2/0.6 On-1 = 1/3 On-1

   = (0.3/0.7) * (1/3)^n

O1 = 1/7 => P1 = O1/(1+O1) = 1/8
O3 = 1/63 => P3 = O3/(1+O3) = 1/64

=> P1/P3 = 8

這裡你會發現每多篩出一次陰性, 為感染者的Odds就變為知道檢驗結果前的 0.2/0.6倍
而0.2/0.6 就是 感染者和非感染者在單次檢驗中被驗出為陰性的機率的比值

這個比值叫做這個檢驗的 陰性蓋似比 (negative likelihood ratio)

同理可以得到每多篩出一次陽性  為感染者的Odds就會變成知道檢驗結果前的
0.8/0.4 = 2 倍, 這就是這個檢驗的 陽性蓋似比 (positive likelihood ratio)

引入odds和likelihood ratio的好處是可以很容易的算出以下問題的答案:

如果人群中感染者的比率是30%, 有一個人驗出 陰 陽 陰 陽 陰, 那

他為感染者的機率是多少 ?

利用Odds和likelihood ratio

我們可以先求出他為感染者的 odds 為 0.3/0.7 * (1/3)^3 * 2^2 = 4/63

而他是感染者的機率就是 4/63 / (1+4/63) = 4/67 = 0.0597



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※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:50:55
※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:51:58
→ mantour     : 照你寫的轉移矩陣，原本感染機率為p，驗一次之後感
→ mantour     : 染機率變成0.8p+0.4(1-p)，但是條件機率並不是這樣
→ mantour     : 算的
→ mantour     : （*照原Po)
推 s89180      : 阿，感覺有點太深奧，我先慢慢咀嚼一下，謝謝mantou
→ s89180      : r!
→ musicbox810 : 分母的(Pn-1 * 0.2 + Qn * 0.6)的Qn不是Qn-1嗎?
打錯, 感謝提醒, 已更正
→ musicbox810 : 可以解釋一下最後一個算式4/63 / (1+4/63)的意思嗎?
o = p/(1-p) => p = o/(1+o)
※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/23/2024 20:50:21
→ musicbox810 : 感謝解釋，懂了!