Re: [其他] 請問如何求出這題的遠近日點

[Honor1984 (奈何上天造化弄人？)]

※ 引述《iampig951753 (MultiOrganFailure)》之銘言：
: https://i.imgur.com/0hP9Gk9.jpg
: 如題
: 想了一整晚
: 完全沒有頭緒
: 比解出答案更痛苦

解出答案還會痛苦？

: 問人也沒有找到解答
: 求救
: 或是這不需要找出遠日點？
: 應該不可能吧？

這題應該比算出一個值還要多一些考慮

我先寫出原本的計算問題

10R(v/2) = Rv' => v' = 5v，這只是切線速度分量而已

到達行星表面的速度V至少 >= v'，因為也有可能含有徑向速度分量

-GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = -GMm/R + (1/2)m(V)^2 >= -GMm/R + (25/2)mv'^2

=> 9GM/(10R) >= 12v^2

=> v <= √[3GM/(40R)]此為初始速度最大值，而非題目說的最小值

所以問題不是只是算出一個極值，還必須考慮到底是最大值還是最小值

也就是問題並沒有完

設接近r = kR，k >= 1

10R(v/2) = kRV => V = 5v/k < 5v

令U = GMm/R，E = (1/2)mv^2

-GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = (-GMm/r") + (25/2)m(V_t)^2 + (1/2)m(V_r)^2

V_r本身是k的函數

這裡有個問題：會不會初始速度一發射後，本來就根本連行星表面都碰不到？

只用角動量和能量守恆可以算出一個極值，但是也無法解釋其他問題

假設到達某r = kR時，無V_r分量

-GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = (1/k)(-GMm/R) + (1/k)^2 (25/2)mv^2 + (1/2)m(V_r)^2

=> -U/10 + E = 25E(1/k)^2 - U(1/k)

令x = (1/50)(U/E)，可解出1/k

1/k_1 = x + √[x^2 - x/5 + 1/25]

1/k_2 = x - √[x^2 - x/5 + 1/25]

因為解的性質，

要求1/k_1 <= 1可解出v >= √[3GM/(40R)]，

到這裡才知道所解的極值是最小值，

不是最大值。


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※ 編輯: Honor1984 (36.227.118.40 臺灣), 03/09/2024 15:08:52
推 arrenwu     : 這只是切線速度分量而已 <--- "距離最近"或"距離最
→ arrenwu     : 遠"的必要條件不就是 不能有徑向速度嗎？
推 arrenwu     : 距離R的時候，如果徑向還有速度，要不是會撞到地球
→ arrenwu     : 不然就是速度還可以再慢一點(有離心的徑向速度)
→ Honor1984   : 如果是拋物線呢？物體初始位置如果剛好在拋物線遠離
→ Honor1984   : 行星的那半邊？這樣不見得存在只有切線方向的速度分
→ Honor1984   : 量
推 arrenwu     : 我有點不太清楚你描述的情況
→ arrenwu     : https://i.imgur.com/hyzwbM9.jpg 你方便畫一張類似
→ arrenwu     : 的圖 方便我了解你在描述的情況嗎？XD
→ Honor1984   : 假設行星中心到近日點當作對稱軸，一半邊是接近近日
→ Honor1984   : 點，一半邊是遠離近日點。如果初始位置及初始速度剛
→ Honor1984   : 好都落在遠離近日點的那半支曲線，這樣物體丟出之後
→ Honor1984   : 都不可能再碰上對稱軸上的近日或遠日點
→ Honor1984   : 抱歉不太會使用軟體工具。你就把途中的軌跡改成躺著
→ Honor1984   : 的拋物線，然後越來越遠離行星，縱使有接近的位置，
→ Honor1984   : 徑像分量還是一直存在
→ Honor1984   : 應該是說傾斜的拋物線，通過行星中心的對稱軸是斜的
→ Honor1984   : 我的作法也無法解釋是否根本就到不了近日點，而是當
→ Honor1984   : 近日點時的速度(只剩切線分量)，然後這個速度是最小
→ Honor1984   : 值，另外還有個上限決定是否是橢圓軌道，但不是本題
→ Honor1984   : 重點就是了
推 arrenwu     : 你看起來像是在說，需要證明"存在只有切線速度且
→ arrenwu     : 質點距離地心只有R的情況"？
→ Honor1984   : 對
→ cmrafsts    : 我不太懂你們在考慮什麼問題而不直接解出物體運動
→ cmrafsts    : 的軌跡來判定。先忽略行星的大小，因為角動量不為0
→ cmrafsts    : 軌跡就是二次函數的一部分，由|v|決定種類。那原題
→ cmrafsts    : 不會墜地就跟忽略行星體積後的軌跡不會進入|r|<=R的
→ cmrafsts    : 範圍是一樣的。
→ cmrafsts    : 你這篇一開始算的問題是「什麼狀況下會在某時達到
→ cmrafsts    : r=R?」，所以算出來的是速度比某個值大就不可能。
→ cmrafsts    : 因為知道軌跡是二次曲線的一部分，加上初始角度知道
→ cmrafsts    : 一開始距離減少，所以一定會有最接近的時刻。假設最
→ cmrafsts    : 接近時的距離是|v|的連續函數，那有|v|趨近0和無窮
→ cmrafsts    : 大的極限分別是0和5R。那前一篇的解就可以確定是最
→ cmrafsts    : 小值。
推 arrenwu     : 現在情況比較像是在考慮怎麼樣"容易地說明"什麼速度
→ arrenwu     : 下最多倒接近地心距離R的地方