[微積] 面積分面積元疑義

[Lanjaja ()]

各位先進好！
最近閱讀電磁學，讀到圓柱座標的面積元：ds = ρdφdz  (1)
覺得跟我以前學的好像有一點出入。
我在wiki查到有關圓柱座標，表格中有一列differential normal area
https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates
dS = ρdφdz e_ρ + dρdz e_φ + ρdρdφ e_z  (2)
我沒看過這種三項的面積元法向量，這是對的嗎？

我有幾個疑問想請教先進：

1. (2)是正確的嗎？以前大一面積分，積分元只有雙變數一項，
就是(2)中的一項而已。
如果寫成積分，只需要其中一個分量，如此三個分量應該貢獻一樣，
不是應該寫成dS = (1/3)(ρdφdz e_ρ + dρdz e_φ + ρdρdφ e_z)嗎？

2. (1)只是(2)的e_ρ分量，ds = dS·e_ρ，是否表示(1)只能用在圓柱面上的表面積？
如果是不規則的形狀，像是花瓶，(1)的有效性是不是讓人懷疑？

3.我自己照著微積分課本將曲面以φ、z參數化，做出來dφdz前面的因子是有根號的，
明顯不是ρ，所以到底是微積分課本正確，還是各家電磁學正確？

先謝謝各位的解答～

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※ 編輯: Lanjaja (36.227.118.97 臺灣), 03/22/2024 14:40:15
推 Vulpix      : (2)   微積分課本也沒錯，但那是因為每次使用的時候
→ Vulpix      : 剛好dρ都是0。
→ Lanjaja     : 請問V大(2)是怎麼計算出來的？能否用符號計算做出？
→ Lanjaja     : 電磁學的圓柱座標應該是一種座標方式，與要處理的曲
→ Lanjaja     : 面是否一定為圓柱面無關才對，否則圓柱面上可以化簡
→ Lanjaja     : (1)，這個我沒有問題，我只是想用圓柱座標做其他不
→ Lanjaja     : 規則曲面的計算
→ Lanjaja     : 關於1.的問題，作面積分，微積分課本都是使用(1)的
→ Lanjaja     : 其中一個分量當積分元做出的，如果真的用(2)做計算
→ Lanjaja     : 不會產生微積分課本做出來的結果*3倍嗎？