Re: [中學] 直角三角形重心與內心連線

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《yiting428 ()》之銘言：
: 大家好
: 如圖
: https://i.imgur.com/6OINrEw.jpg
: 請問如何可以證明 GI 平行 AC？
: 我卡好久了囧
: 目前已嘗試過 Δ=rs=兩股相乘/2
: (r=內切圓半徑，s=周長/2)
: 也嘗試過證明r=BC邊/3
: 請大大們賜教了
: 謝謝
:
這問題我感興趣的是：給定三角形 ABC， GI 平行 AC 成立的條件是？


用 O 表示原點，a,b,c 分別為 BC, AC, AB 的長度
下面寫的 OG, OI 等都是向量:

我們可以用一些已知的幾何結果：
        OI = a/(a+b+c)*OA + b/(a+b+c)*OB + c/(a+b+c)*OC
        OG = OA/3 + OB/3 + OC/3

把上面的式子整理一下，可以得到

        AI = b/(a+b+c)*AB + c/(a+b+c)*AC
        AG = AB/3 + AC/3

進一步可以得出

        GI = [b/(a+b+c)-1/3]*AB + [c/(a+b+c)-1/3]*AC

給定兩個夾角為θ的向量 X,Y ，定義二維平面的外積 X x Y 為 |X||Y|sinθ

GI 與 AC 平行 若且惟若 GI x AC = 0

0 = GI x AC = [[b/(a+b+c)-1/3]*AB + [c/(a+b+c)-1/3]*AC] x AC

            = [b/(a+b+c)-1/3]*(AB x AC)

因為ABC是三角形，AB跟AC不可能平行→ AB x AC ≠ 0
故我們可以得到，GI 與 AC 平行 若且惟若 b/(a+b+c) = 1/3  


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早川秋看到的未來
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推 swfswf      : 更簡單的證法，不失一般性，假設A,C在Y軸上，B的座
→ swfswf      : 標為(t,0)，t>0，則三角形重心的x座標是t/3，面積
→ swfswf      : S=b*t/2。內心的x座標也就是內切圓的半徑，也就是
→ swfswf      : S*2/(a+b+c)。如果內心重心連線平行y軸，
→ swfswf      : t/3 =b*t/2*2/(a+b+c)，得到b=(a+b+c)/3
推 yiting428   : 這個蠻屌的，謝謝大大分享，我消化一下