推 waynan : 好厲害的解法，太感謝了！ 04/09 22:40
→ cuteSquirrel: 不客氣 這題用到很多中學性質 老師剛好佛心配好數字 04/09 22:48
→ cuteSquirrel: 感覺關鍵在找邊角關係 得到直角三角形去幫忙算邊長 04/09 22:49
※ 編輯: cuteSquirrel (1.161.47.50 臺灣), 04/10/2024 11:39:38
用輔助三角形、邊角關係、三角全等性質、正弦定理、餘弦定理來解
https://i.imgur.com/y6iEMDx.png
畫輔助正三角形ACE，
角ACE = 角CAE = 角AEC = 60度
原本題目給兩等邊夾一角DAB = 60度，所以三角形ABD也是一個比較小的正三角。
角DAC + 角CAB = 60度 (來自藍色小正三角形)
角CAB + 角BAE = 60度 (來自橘色大正三角形)
兩式相消，得到 角DAC = 角BAE
由三角形SAS性質可知道
邊AD = 邊AB
邊AC = 邊AE
角DAC = 角BAE
推得三角形 ADC 等於 三角形ABE
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令 角ACB = ?
則 角BCE = 60度-?
且 角ACD = 30度-?
又因為剛剛已經知道 三角形 ADC 等於 三角形ABE
所以 角AEB = 30度 - ?
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再根據大正三角的性質
角AEB + 角BEC = 60度
30度 - ? + 角BEC = 60度
推得 角BCE = 30度 + ?
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已知任意三角形內角和必需等於180度
對於三角形BCE而言:
角BCE + 角BEC + 角CBE = 180度
60-? + 30 + ? + 角CBE = 180
90 + 角BCE = 180
角BCE = 90 剛好垂直
現在知道三角形BCE是直角三角形
邊BE = 6 來自於等價三角型的性質
邊CE = 10 來自於輔助的大正三角型邊長
邊BC = 8 由畢氏定理求出。
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接著，由餘弦定理求出關係式
假設 小全等三角邊長 = 邊 BD = x
x^2 = 邊CD^2 + 邊BC^2 - 2 *邊CD *邊BC * cos 30度
不要真的去開根號，知道x^2就夠了。
四邊形ABCD面積 = 全等三角形ABD面積 + 已知兩邊夾一角三角形BCD面積
從正弦定理來計算
= 1/2 * 邊AD * 邊AB * sin60度 + 1/2 * 邊CD * 邊BC * sin30度
= 1/2 * x^2 * sin60度 + 1/2 * 6 * 8 * sin30度
※ 引述《waynan (小胖子)》之銘言：
: 求解:
: 四邊形ABCD中，AB=AD，CD=6，AC=10，
: ∠DAB=60° ∠BCD=30°，求四邊形ABCD的面積。
: 原題及附圖
: https://upload.cc/i1/2024/04/09/gtv7Lj.jpg
: 感激不盡!
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