推 hero010188 : 感謝感謝~! 04/18 23:17
猜老師正好教到複數與極式，考z^n = 1 對應的正n邊形觀念和w的性質
z^7 = 1
z^7 = 1在複數平面上的根有 1, w, w^2, w^3, ...., w^6 總共七個根
令他們分別對應到題目給的 A, B, C, D, E, F, G 圓內接正七邊形的七個頂點
z^7 - 1 = 0 ( 從z^7 = 1 移項得到 )
z^7 - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2) .... (z - w^6 )
z^7 - 1
--------- = (z - w)(z - w^2) .... (z - w^6)
z - 1
等號左邊 配合乘法公式 可得
關係式
1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = ( z - w )(z - w^2 ) ... ( z - w^6 )
題目所求 = AB * AC * AD * AE * AF * AG
= | (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)...(1 - w^6) |
關係式 把z=1代入 ，取絕對值，恰好就是題目所求
| 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 | = 7
※ 引述《hero010188 (我是海賊王)》之銘言：
: https://i.imgur.com/66JrGFj.png
: 目前只想到極式爆開
: 但就感覺不是這樣做@@"
: 請問
: 該怎下手會比較順
: 感謝~
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