[分析] 函數表示成級數和

[tatoba (tatoba)]

請問一下
泰勒展開式一般只在展開點附近有良好近似
為何有些函數在整個實數定義域都能用同一個級數和表達？
例如e^x,sinx,cosx 在x=0的泰勒展開式
其無窮級數和在丨x丨＞＞0也等於其函數值
似乎有Σan’(x-x’)^n=Σan x^n
網路查時 有看到有人宣稱是因為收斂半徑=∞
但是我認為那個條件只能保證無窮級數和收斂
不能保證在不同x,級數和都收斂到同一個f(x)
然後我看到有人在複變函數的範圍討論
說如果函數f(z) holomorphic就能用同一個級數和[假設命名為F(z)]
表達整個定義域內的f(z)
我另外就想到前面所提的收斂半徑∞
如果級數和一定收斂[假設命名為F(z)]
然後和f(z)在某個較小的區間完全相等
是不是從identity theorem就能推出在更大的範圍f(z)=F(z)？
外行有很多不懂 請版友不吝指教 謝謝

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※ 編輯: tatoba (61.227.27.155 臺灣), 04/22/2024 16:37:49
推 willydp     : 你講的這類函數叫作解析函數
→ willydp     : 維基百科的解釋 https://w.wiki/9qZM
→ willydp     : 一般來說，光滑函數（處處可無限次可導）的泰勒展開
→ willydp     : 和函數實際的取值只有近似關係，即使在某個區域相等
→ willydp     : 離開那個區域之後可以完全不同
→ willydp     : 看看維基百科頁面「等價描述」那一小節
→ logstar11   : 憑印象講 可能有錯
→ logstar11   : C上的解析函數等價於用同一個級數在C上表示
→ logstar11   : 你舉的級數例子不只是在實數上處處收斂 更是在C上
→ logstar11   : 所以是解析 並且在R上跟那些函數
→ logstar11   : 相同 由id thm. 得到那些函數就是那幾個級數