Re: [中學] 請教ㄧ題空間概念

[mantour (朱子)]

※ 引述《a110009 (小飛)》之銘言：
: https://i.imgur.com/PcX3kN2.jpeg
: 如題，請問在不用微分的前提
: 怎麼用高二的方式處理

4 OP + 5 PA =

4sqrt (a^2 + b^2) + 5sqrt( (7-a)^2 + (24-b)^2 + 6^2 )

易知有最小值時 0<=a<=7 , 0<=b<=24

令 p^2 + q^2 = 16 且 p : q = 7 : 24

=> p = 28/25, q=96/25

4 OP + 5 PA =

sqrt (p^2+q^2) sqrt(a^2+b^2) +

sqrt(p^2+q^2+3^2) sqrt((7-a)^2 + (24-b)^2 + 6^2)

>= | pa+bq| + | p(7-a) + q(24-b) + 18 |

= 7p + 24q + 18

當 a:b = p : q = 7:24 且 (7-a): (24-b): 6 = p : q : 3 時等號成立

即

當 a = 119/25 , b = 408/25 時

4OP + 5PA 有最小值為 7*28/25+24*96/25+18 = 118

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推 cuteSquirrel: 柯西 漂亮
→ musicbox810 : 想請教m大，為什麼可以一開始就令p : q = 7 : 24？
→ musicbox810 : = 7p + 24q + 18 的=是不是應該為>=
→ mantour     : 7：24才能讓兩個不等式的等號同時成立
→ mantour     : 因為已經限定a,b的範圍，所以絕對值可以直接去掉，
→ mantour     : 所以是等號
→ mantour     : 7：24是湊出來的
→ mantour     : p,q是湊出來的常數不是未知數，後面的式子都可以直
→ mantour     : 接把值代進去，只是懶得寫所以才繼續寫p,q
→ mantour     : 如果不是這個值的話兩個不等式的等號不會同時成立
→ musicbox810 : 謝謝m大，我好像懂了
→ musicbox810 : 抱歉m大，還有一個疑問，怎麼知道有最小值時0<=a<=
→ musicbox810 : 7，0<=b<=24？
推 cuteSquirrel: 因為超過範圍形成的a,b都是繞遠路的折線
→ musicbox810 : 針對0<=a<=7 , 0<=b<=24的沒有比較直接的證明，如果
→ musicbox810 : 是證明繞遠路，似乎說明解釋的篇幅會比較多
→ musicbox810 : 不知道有沒有可以直接看的
→ mantour     : 如果a<0，代入的值大於a=0的值，如果a>7，代入的值
→ mantour     : 就大於a=7的值；b同理。
→ musicbox810 : 謝謝m大，看懂了