黎曼猜想突破作者首次公開解說，陶哲軒送上總結
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機器之心報道
滿滿一黑板的「天書」，會是「猜想界皇冠」破解的開始嗎？
昨天， 有關試證黎曼猜想的新研究 又一次引爆了數學圈。
MIT 數學教授Larry Guth 和牛津大學數學研究所教授、2022 菲爾茲獎得主James
Maynard 撰寫論文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》，首次
對數學家Albert Ingham 在1940 年左右關於黎曼ζ 函數零點（以及更廣泛地控制各種
Dirichlet 級數的大值）的經典界限做出了實質改進。
論文網址：https://arxiv.org/pdf/2405.20552
對於Guth 和Maynard 的新突破，知名華裔數學家陶哲軒評論道：「他們在研究黎曼猜想
方面取得了重要進展，儘管離解決這一歷史悠久的數學問題還有很長的路要走。」
今天，兩位論文作者Larry Guth 和James Maynard 分別做了主題為《狄利克雷多項式大
值的新界限，第一部分》以及《狄利克雷多項式大值的新界限，第二部分》的講座。
狄利克雷多項式界限在與素數分佈相關的幾個問題中發揮重要作用，它們可以用來限制黎
曼zeta 函數在垂直條帶中的零點數量，這與短間隔內的素數分佈有關。 狄利克雷多項式
可以表示為：
https://tinyurl.com/mefru32z
主要問題在於D (t) 超水平集的大小。 作者進行歸一化，使得係數範數最多為1，然後研
究超水平集| D (t)| > N^\sigma，其中sigma 指數介於1/2 和1 之間。
其中對於較大的sigma 值，數學家Montgomery 證明了該超水平集具有非常強的界限。 但
對於sigma \le 3/4，最知名的界限來自非常簡單的正交性論證（而且這些界限似乎並不
尖銳）。 作者將已知的sigma 界限改進到接近3/4，相關工作正在進行中。
James Maynard 講座介紹
講座一開始，James Maynard 引用了Freeman Dyson 的著名比喻，將數學家分為鳥和青蛙
。 鳥喜歡從高處俯瞰全局，思考宏觀的數學結構；青蛙喜歡深入具體的細節，解決具體
的問題。 Maynard 自認是一隻青蛙，更注重細節問題的解決。
在演講中，Maynard 主要介紹了他和Larry 共同研究成果，特別是關於Dirichlet 多項式
的大值問題。 這些研究在解析數論上具有重要意義。
Maynard 希望透過這次演講，更好的展示他們的研究結果、這些結果如何融入解析數論的
整體背景，以及一些關鍵的證明想法。
為了將晦澀難懂的數學問題解釋的更加清楚，Maynard 採用板書的形式進行講解，並寫下
了滿屏的推導公式：
https://tinyurl.com/yckuerjw
整場演講長達1 小時12 分，內容輸出非常密集。 著名數學家陶哲軒簡單明了的概括了這
次研究的新進展， 解釋了從黎曼猜想到當前最新進展的邏輯推導鏈條，展示了每個假設
和估計之間的關係及其在解析數論中的重要性。
https://tinyurl.com/3j3t6zy7
James Maynard 完整影片請見如下：
Larry Guth 講座介紹
Larry Guth 表示， James Maynard 的第一部分講座介紹了狄利克雷多項式的問題、工作
以及關鍵思想。 他此次講座將進一步剖析證明過程，包括解釋問題的背景、證明的細節
。
他首先描述了問題的設置，即分析狄利克雷多項式大值的新界限，狄利克雷多項式範數在
特定集合上的大小，並討論了已有的簡單估計方法（如均值定理）及它們的局限性。
然後他介紹了自己工作提出的新定理，提出在某些參數範圍內對原有估計進行了改進。
此外他也展示了近似反例的存在，證明了簡單估計方法的局限性，並討論了特定情況下可
能存在的精確轉變點。
接下來，他討論了在處理狄利克雷多項式問題時所使用的工具，並指出這些工具無法區分
近似反例和原始問題的設定。 他比較了兩種不同的頻率設置，探討了每個設置的特點。
透過分析低能量和高能量兩種情況，他展示瞭如何使用矩陣的奇異值和牛津大學著名數學
家Heath-Brown 的工作來獲得更好的估計結果。
其中在低能量情況下，他強調了傅立葉變換的使用和能量的定義；在高能量情況下，他則
利用加法結構來改進估計。 最後，他總結了這些方法的有效性。
Larry Guth 完整影片請見如下：
輔助工具：ChatGPT
參考連結：
https://www.ias.edu/video/new-bounds-large-values-dirichlet-polynomials-part-1
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