[其他] 二進位與二的次方

[sluggard (~Halcyon Days~)]

今天看到一個解題的影片提到要快速知道一個數是否為2的次方數
可以把那個數轉為二進位，
然後在看轉成二進位後，是不是只有一個1

例如:

2^0 = 1  ==> 00001
2^1 = 2  ==> 00010
2^2 = 4  ==> 00100
2^3 = 8  ==> 01000
2^4 = 16 ==> 10000
....

轉成二進位時都只有一個1，

所以如果有一個數，要確認是否為二的次方數
就可以轉成二進位，然後看看是否只有一個1來做判斷，
感覺非常神奇，但我想請問這是怎麼推導出來的？

如果要證明，是要用數學歸納法？
謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.236.126.22 (臺灣)
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推 cuteSquirrel: 二進位表達式的基本原理
→ Ricestone   : 那是解程式題吧？  你知道手算怎麼轉成二進制嗎？
→ Ricestone   : 當然如果你想要的話，還是可以用數學歸納法啦
→ sluggard    : 謝謝回覆！手算二進位就是把該數一直除以2，然後看
→ sluggard    : 餘數，只是餘數是從相反（下到上）的順序...
→ sluggard    : 但想不出怎麼怎麼會發現這個規律的...
推 cuteSquirrel: 基本性質
推 ERT312      : 2的平方數不是4嗎?
→ cuteSquirrel: 你也可以說power of 10 在十進位都只會有一個1出現
→ cuteSquirrel: 1, 10, 100, 1000, 10000, ..., 10^i
→ Ricestone   : 如果你是2的冪，說是2^k好了，先看k>1的狀況，這情
→ Ricestone   : 況下除以2的話商是2^(k-1)，餘數是0對吧？
→ Ricestone   : 那在除一次也一樣，且會直到(k-k)=0的時候，這時除
→ Ricestone   : 以2商就是1，餘數也是1，然後就沒了
→ Ricestone   : 所以前面每一個二進制表示都會是0，只剩最高位是1
→ Ricestone   : 當然這解釋只是單純的機械式操作，而本質就是如同下
→ Ricestone   : 一篇文章所寫的進位制。或許你也可能是卡在任何進位
→ Ricestone   : 制的表示法其實是唯一的上（有定義好的話）
→ Ricestone   : 欸不對，最後是餘數還是0，只是商為1就停住了
→ sluggard    : 真的謝謝每一位的回覆與解釋！我的確寫錯了，不是二
→ sluggard    : 的平方，而是二的次方，表達錯誤！謝謝指正！
※ 編輯: sluggard (36.236.126.22 臺灣), 06/10/2024 15:17:21
※ 編輯: sluggard (36.236.126.22 臺灣), 06/10/2024 15:18:07
→ mantour     : 你覺得10進位下10^n 就是1後面加n個0需要證明嗎 ?
→ mantour     : 二進制下一個數右邊加一個0就是乘以2 就跟10進制下
→ mantour     : 右邊加一個0就是乘以10一樣
→ mantour     : 2^n 就是一直乘以二所以就是1後面一直加0
→ mantour     : K進制下向左平移一位就是*K, 向右就是除以K
推 cuylerLin   : 關鍵字查： bit operations