→ bernard0929 : 收到，謝謝指導 06/15 18:41
→ cuteSquirrel: :) 06/15 20:13
三個不同的正整數相加，使得總和恰為100的組合方法數。
(也就是只在意數值本身，不在意順序，順序任意調換視為同一種)
原題目等價於
X + Y + Z = 100
X, Y, Z 皆屬於 N(正整數) 且 X != Y , Y != Z, X != Z
請問組合方法數有多少?
從三數恆正整數的條件，可以先計算等價的 非負正整數求解的經典型態
X + Y + Z = 97 (三個變數都暗槓一個1，即可保證皆最後分配完皆為正整數)
X, Y, Z 的非負整數解
等價於 H(3, 97) = C(97+3-1, 97) = C(99, 97) = C(99, 2)
也可以想成99個位置，任選兩處放隔板，剩下的放一，
那些同一區的1 湊起來的整數就對應X,Y,Z
兩兩相同的方法數 = 3 * 49 = C(3變數選1變數當偶數) * 剩下兩變數相等的解
三數相同的方法數 = 0 (100除以3 無法整除，沒有三整數相同=100的解)
三相異整數，總和100的方法數
= 所有方法數 - 兩兩相同的方法數
= C(99,2) - 3 * 49
= 99 * 98 / 2 - 3 * 49
= 99 * 49 - 3 * 49
= 96 * 49
原題目要的是組合數，所以順序調換的都是同一種，用除法去排除重複的解。
X+Y+Z, X+Z+Y, Y+Z+X, Y+X+Z, Z+X+Y, Z+Y+X 這3!=6種 和X+Y+Z其實都只算同一種。
X+Y+Z=100 三相異正整數解的組合數
= 96 * 49 / 3!
= 96 * 49 / 6
= 16 * 49
= 784 種解(組合方法數)
※ 引述《bernard0929 (笨熊康誥)》之銘言：
: 各位大家晚安：
: 如題，
: 請問有幾種方法，
: 利用三個不同的正整數相加，
: 使其和為１００？
: ９７＋２＋１＝１００
: 和
: ２＋９７＋１＝１００
: 視為同一種方法。
: 目前小弟只想到利用列舉法，
: 然後找規律來處理。
: 但當三數中最大數值小於５０的時候，
: 似乎又出現變化．．．
: 還請大家給予協助，再次感謝。
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