Re: [微積]Vector Triple Product A ×(B ×C ) 證明

[ERT312 (312)]

※ 引述《anoymouse (沒有暱稱)》之銘言：
: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~ercelebi/Ax(BxC).pdf
: 請問最後Selecting arbitrarily...
: 為什麼隨意選的三個值有通用性? 怎麼確定再選其他值，λ也會是1?
: ----------------------------------------------------------------
: 從"one obtains"開始，這樣寫應該比較正確:
: m (A ·B) + n (A ·C) = 0
: m (A ·B) = -n (A ·C)
: 令λ = m/(A ·C) = -n/(A ·B)
: A ×(B ×C) = m*B + n*C
: A ×(B ×C) = λ*(A ·C)*B + (-λ)*(A ·B)*C
: 令A = 向量i, B= 向量j, C= 向量i，主要目標是希望(A ·B) 可以消失，
: 所以會變成:
: i ×(j ×i) = λ*(i ·i)*B + 0 = λ*B
: i ×(-k) = λ* j
: -(-j) = λ* j
: λ = 1.
: 另外隨意代入任意向量，λ都唯一原因:
: A ×(B ×C) = λ*[ (A ·C)*B  - (A ·B)*C ]
: 假設存在λ_2 使得A ×(B ×C) =λ_2*[ (A ·C)*B  - (A ·B)*C ]
: 則A ×(B ×C) / [ (A ·C)*B  - (A ·B)*C ] = λ = λ_2
: 謝謝
這個說明還是不能當證明
我現在定義一個新的運算
A⊙B=|A|(A×B)
A⊙B 與 A×B 除了長度可能不同之外，方向相同
(|A|≠0或1，|B|≠0)
於是
A⊙(B⊙C)=A⊙(|B|(B×C))
=|A|(A×(|B|(B×C))
=|A||B|(A×(B×C))

然後你會發現用上面的方法
也可以"導出"
A⊙(B⊙C)=B(C．A)-C(A．B)

因為你舉了幾個例子後
發現λ都是1

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→ musicbox810 : 原po的文章從頭到尾只用了外積的方向，缺少長度，也
→ musicbox810 : 不應該直接令λ為universal constant
→ mantour     : 如果加上⊙要是bilinear map的條件的話，有辦法補
→ mantour     : 上漏洞嗎？
→ mantour     : 應該說如果用上外積是bilinear map的條件是不是就
→ mantour     : 可以排除掉這種反例
→ mantour     : 有沒有辦法從線性條件導出lambda是常數
→ ERT312      : 加上這條件的話就可以證明A⊙B=k(A×B), k 是常數
→ ERT312      : 這樣代值就可以確定λ=1