當500年歷史的數學問題，與鐘擺、晨光中的咖啡與核反應器相遇
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環球科學
撰文| 莎拉哈特（Sarah Hart）
翻譯| 張岱銘
審校| 不周
著名藝術家保羅·克利（Paul Klee）曾形容繪畫的過程是「 牽著一條線散步 」——但
為什麼止步於此呢？ 五個世紀以來，數學家一直在思考這樣一個問題：當你牽著圓或其
他曲線去散步時，會發生什麼事？ 且聽我將這個迷人的故事細細道來…
擺線 深深吸引了伽利略，其神秘之處在於， 關於這條曲線最基本的一些問題似乎都是無
法解答的 ——它的長度是多少？ 包含的面積有多大？ 直線和拱形曲線之間的面積是多
少？ 伽利略甚至在金屬板上製作了一條擺線，並試圖透過稱重來估算面積，但他始終無
法在數學上解決這個問題。
幾年之內，似乎整個歐洲的數學家都沉迷於擺線問題。 皮埃爾·德·費馬（Pierre de
Fermat）、勒內·笛卡爾（René Descartes）、馬蘭·梅森（Marin Mersenne）、艾薩
克·牛頓（Isaac Newton）和戈特弗里德·威廉·萊布尼茲（Gottfried Wilhelm
Leibniz）都研究過它。 它甚至讓布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）重新回到了數學領
域，在此之前，他曾發誓放棄數學，轉而專注於神學。
有一天晚上，帕斯卡牙痛得厲害，為了轉移注意力，他決定思考擺線的問題。 結果這個
辦法真的奏效了——他的牙痛奇蹟般地消失了，帕斯卡自然認為這是因為上帝贊成他研究
數學。 從此，他再也沒有放棄數學。 在巴黎羅浮宮的帕斯卡雕像上，你甚至可以看到他
手持擺線圖的形象。 事實上，這條曲線變得如此著名，以至於它出現在幾部經典文學作
品——《格列佛遊記》、《項狄傳》和《白鯨》中都有提及。
擺線的面積問題 最早是在17世紀中期由吉爾·德·羅貝瓦爾（Gilles de Roberval）首
先解決，其答案非常簡潔美妙—— 擺線面積正好是滾動圓面積的三倍 。 第一個計算出
擺線長度 的人是克里斯多福·雷恩（Christopher Wren），他是一位極為出色的數學家
，傳聞中也涉獵建築領域。 他得到的也是一個優雅簡潔的公式： 擺線長度剛好是產生圓
直徑的四倍 。 迷人的擺線對數學家有著如此大的吸引力，以至於它被稱為“幾何學的海
倫”（ “海倫”指的是古希臘神話中著名的美女海倫，她因美貌而引發特洛伊戰爭） 。
但這並不是它被這麼稱呼的唯一原因。 數學界 許多激烈的爭吵都歸咎於它 。 當數學家
埃萬傑利斯塔·托里切利（Evangelista Torricelli）獨立地找到擺線與直線之間的面積
時，羅貝瓦爾指責他剽竊自己的研究成果。 羅貝瓦爾的支持者甚至聲稱，托里切利是因
被揭露為剽竊者而羞愧至死（雖然更有可能的死因是他當時患有的傷寒）。 笛卡兒則輕
蔑地稱費馬關於擺線的研究為「荒謬的胡言亂語」。 而在回應約翰·伯努利（Johann
Bernoulli）的質疑時，艾薩克·牛頓憤憤不平地抱怨自己「在數學上被外國人戲弄」。
克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）是世界上第一個擺鐘的設計者，他發現了
擺線的一個奇特性質 。 鐘擺之所以適合計時，是因為無論釋放時的角度如何，它的運動
週期——也就是鐘擺完成一次完整擺動的時間——都是不變的。 實際上這只在近似條件
下成立，週期其實會有輕微的變化。
惠更斯想知道， 是否可以做出更精準的鐘 。 普通鐘擺的末端沿著圓弧運動，但是否有
一條曲線可以讓鐘擺無論從哪個位置釋放，都能在相同的時間內到達曲線的最低點？ 這
就是所謂的「等時問題」。 你猜滿足這個條件的曲線是什麼？ 意外的收穫是，它也與「
最速降線問題」有關，即尋找一條曲線，使得一個粒子在重力作用下沿著該曲線從一點滑
到另一點所花的時間最短。 看起來完全沒有理由認為這兩個問題可以被同一條曲線解決
， 但事實就是如此，而這條曲線正是擺線。 這些問題的背景看起來與擺線誕生時的研究
背景迥然不同，卻仍有它的一席之地，這著實是一個令人驚訝的發現。
當線沿著圓滾動
當你把一個圓沿著一條直線滾動時，你會得到一個擺線。 但 如果你把一條線沿著一個圓
滾動 ，你會得到什麼呢？ 這是一種稱為 漸開線 的曲線。 要畫出一條曲線的漸開線，
你需要取一個線段的端點，並沿著這條曲線滾動這條線，使其始終與曲線保持只在一個點
上接觸（也就是相切）。 漸開線就是這個端點所描繪的曲線。 對於圓的漸開線，想像從
一個線軸上放開一條線，並追蹤線端的移動軌跡。 你會得到一條從圓週發散開去的螺旋
曲線。
惠更斯是第一個研究漸開線的人，這源自於他為了設計更精確的鐘而做的嘗試。 雖然我
們知道擺線是完美的等時曲線，但如何讓你的線繩遵循擺線的路徑呢？ 你需要找到一條
其 漸開線是擺線的曲線 。 擺線本身就奇蹟般地具有這個美妙的性質： 它的漸開線就是
它自己 ！ 而圓那些美麗的螺旋漸開線也同樣非常有用。
我最喜歡的漸開線應用，是惠更斯絕對無法預測的： 圓漸開線可以用來設計一種核反應
堆 ，以產生大質量的元素進行科學研究。 這種反應器透過發射高速中子撞擊較輕的元素
，從而產生較重的元素。 在圓柱形的反應器核心裡，氧化鈾燃料被夾在薄薄的鋁條之間
，這些鋁條會依照特定的曲線塑形以適應圓柱的形狀。 每平方公分上有上千億個中子飛
速運動，產生的熱量非常大，因此需要在這些鋁條之間添加流動的冷卻劑。 為了防止出
現過熱點，必須確保這些鋁條在整個彎曲表面上保持恆定的距離。
圓漸開線一個有用的性質在核反應爐裡找到了用武之地。 如果你從圓週上等距的點開始
繪製一組圓漸開線，那麼這些曲線之間的距離會在整個曲線上保持恆定。 因此，它們是
反應器核心中燃料條形狀的最佳選擇。 更妙的是， 圓漸開線是唯一具有這種特性的曲
線 ！ 最初在擺鐘背景下研究的曲線竟然能解決核反應器設計中的關鍵問題，這實在令我
著迷。
當圓沿著圓滾動
我們已經把圓沿直線滾動，並將直線沿圓滾動。 顯然，下一步是讓 圓沿著圓滾動 。 會
發生什麼事呢？ 這裡我們得分類討論一下。 滾動的圓有多大？ 我們是沿著靜止圓的內
側還是外側滾動？ 當一個圓沿著另一個圓的內側滾動時，形成的曲線叫做 內擺線 ；沿
著外側滾動則得到 外擺線 。 如果你玩過「畫圖儀」玩具，那你幾乎就已經畫出了內擺
線。 準確地說你繪製的應該是所謂的 內旋輪線 ，因為你的筆不完全在滾動圓的邊緣。
在外擺線中，最有趣的要數 心形線 ：它是當 滚动圆和固定圆的半径相同滾動圓和固定
圓的半徑相同時 形成的心形曲線。 而當 滾動圓的 半徑是固定圓 的一半 時，形成的則
是 腎形線 。 心形線出現在許多有趣的地方。 著名的分形圖曼德博集合（Mandelbrot
set）的中心區域就是一個心形線。 聲音工程師所熟知的 心形麥克風 ，就在一個心形線
形狀的區域內接收聲音。 在某些光照條件下，你可能會在 咖啡杯的光影圖案 中看到類
似心形線的曲線。 如果從固定光源發出的光線在一個彎曲的鏡面上發生反射，能看見一
條這些反射光線均相切的曲線，這個光線集聚的區域被稱為焦散。 如果光源位於一個完
美圓形鏡子的圓週上，其焦散恰好會形成一個心形線！
當然，在咖啡杯的例子中，光源通常不會剛好在杯子的邊緣，而是離杯子有一定距離。
如果光源非常遠，我們可以假設照射到杯子邊緣的光線是平行的。 在這種情況下，焦散
實際上不是心形線，而是另一種外擺線：腎形線。 但由於強烈的頂燈光源介於這兩種極
端之間，我們通常得到的曲線會介於心形線和腎形線之間。 數學家阿爾弗雷德·雷尼（
Alfréd Rényi）曾將數學家定義為「 將咖啡轉化為定理的機器 」。 這句話在奇妙的
外擺線中表現得淋漓盡致。 如果你剛好正在享用你的晨間咖啡，不妨也來找找這些曲線
的蹤跡吧！
原文連結：
https://www.newscientist.com/article/2430522-500-year-old-maths-problem-turns-out-to-apply-to-coffee-and-clocks/
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