推 bye2007 : 推！真是重大發現！ 07/24 07:59
https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
Erica Klarreich
https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
經過30年的努力，數學家們已經證明了名為「朗蘭茲綱領」的深刻數學願景的主要部分。
一組由九位數學家組成的團隊已經證明了幾何朗蘭茲猜想，這是現代數學中最廣泛的範式
之一的重要組成部分。
這一證明標誌著三十年努力的高潮，未參與證明的馬克斯普朗克數學研究所的著名數學家
彼得·舒爾茲說道：「看到它被解決真是太好了。」
朗蘭茲計劃由羅伯特·朗蘭茲在1960年代提出，是傅里葉分析的一個廣泛推廣，這是一個
將複雜波形以平滑振盪的正弦波表示的遠大框架。朗蘭茲計劃在數論、幾何學和稱為函數
域的三個獨立數學領域中佔有重要地位。這三個領域通過一個類似於數學界的羅塞塔石碑
的比喻網絡相連。
現在，一組新的論文解決了羅塞塔石碑中幾何部分的朗蘭茲猜想。德克薩斯大學奧斯汀分
校的大衛·本-茲維說：「在其他任何領域中，從未有過如此全面和強大的結果被證明。
」
「這是美麗的數學，是這類數學中的最佳作品，」幾何朗蘭茲計劃的主要創始人之一亞歷
山大·貝林森說道。
該證明包含超過800頁的內容，分佈在五篇論文中。這些論文由丹尼斯·蓋茨格里（舒爾
茲在馬克斯普朗克研究所的同事）和耶魯大學的山姆·拉斯金領導的團隊撰寫。
蓋茨格里過去30年來一直致力於證明幾何朗蘭茲猜想。幾十年來，他和他的合作者們已經
發展出大量的工作，新的證明正是建立在這些工作的基礎上。格勒諾布爾阿爾卑斯大學的
文森特·拉福格將這些進展比作「上升的海洋」，這與20世紀著名數學家亞歷山大·格羅
滕迪克的精神一致，他談到通過在問題周圍創造逐漸上升的思想海洋來解決難題。
數學家們需要一些時間來消化這項新工作，但許多人對核心思想的正確性充滿信心。「這
個理論內部有很多一致性，所以很難相信會有錯誤，」拉福格說道。
在證明的前幾年，研究團隊創建了不止一條而是多條通往問題核心的路徑，本-茲維說。
「他們所發展的理解是如此豐富和廣泛，他們從各個方向包圍了問題，」他說。「這個問
題沒有逃脫的機會。」
一個大統一理論
1967年，時任普林斯頓大學30歲教授的羅伯特·朗蘭茲，在給安德烈·韋伊（一位羅塞塔
石碑的創始人）的一封手寫的17頁信中，闡述了他的願景。朗蘭茲寫道，在羅塞塔石碑的
數論和函數域部分，可能創建一個具有驚人範圍和力量的傅里葉分析推廣。
在經典的傅里葉分析中，一種稱為傅里葉變換的程序在思考波形圖（例如聲波圖）的兩種
不同方式之間建立了對應關係。在這種對應關係的一邊是波形本身。（我們稱之為波形側
。）這包括簡單的正弦波（在聲學中是純音）和由正弦波組成的更複雜的波形。在對應關
係的另一邊是正弦波的頻譜，也就是它們的頻率。（數學家稱之為頻譜側。）
傅里葉變換在這兩邊之間來回轉換。在一個方向上，它允許你將波形分解成一系列頻率；
在另一個方向上，它允許你從其組成的頻率重構波形。跨越這種分界線的能力對廣泛的應
用至關重要——沒有它，我們就不會有現代電信、信號處理、磁共振成像以及許多現代生
活中的其他基本技術。
朗蘭茲提出，在羅塞塔石碑的數論和函數域部分，也發生了類似的情況，但波形和頻率更
為複雜。
在這些部分中的每一個部分中，波形側由一組類似於重複波的特殊函數組成。其中最純粹
的稱為特徵函數（來自德語「特徵」），它們扮演正弦波的角色。每個特徵函數都有一個
特徵頻率。然而，正弦波的頻率是一個單一的數字，而特徵函數的頻率則是一個無限數列
。
還有一個頻譜側。這由數論中的一組對象組成，朗蘭茲認為這些對象標示了特徵函數的頻
譜。朗蘭茲提出，一種類似於傅里葉變換的程序將波形側和頻譜側連接起來。「這是一種
奇妙的事情，」本-茲維說道。「這不是我們事先有任何理由期望的東西。」
這些波形及其頻率標籤來自數學中廣泛不同的領域，因此它們之間的對應關係——當能夠
被證明時——通常會帶來豐厚的回報。例如，1990年代對一小部分函數的數論朗蘭茲對應
的證明，使得安德魯·懷爾斯和理查德·泰勒能夠證明費馬大定理，這是一個三個世紀以
來數學中最著名的未解之謎。
朗蘭茲的計劃被加利福尼亞大學伯克利分校的愛德華·弗倫克爾稱為「數學的大統一理論
」。然而，當數學家們努力證明朗蘭茲願景的越來越大的部分時，他們意識到這個願景是
不完整的。它似乎無法講述羅塞塔石碑第三列——幾何部分——中的波形及其頻率標籤的
故事。
一粒沙
從朗蘭茲工作的一開始，數學家們就對幾何朗蘭茲對應的頻譜側應該是什麼樣子有了一些
想法。韋伊的羅塞塔石碑的第三列涉及緊緻黎曼曲面，即球面、甜甜圈以及多孔甜甜圈。
給定的黎曼曲面有一個相應的對象，稱為其基本群，它跟踪了環繞曲面的不同環路。數學
家們懷疑幾何朗蘭茲對應的頻譜側應該由基本群的某些提煉形式組成，這些形式被稱為其
「表示」。
如果朗蘭茲對應要在羅塞塔石碑的幾何部分中實現，那麼黎曼曲面基本群的每個表示應該
是一個頻率標籤——但是標籤的是什麼呢？
數學家們找不到任何特徵函數集合，其頻率似乎由基本群的表示來標記。然後在1980年代
，現任芝加哥大學的弗拉基米爾·德林費爾德意識到，可能通過用更複雜的對象——稱為
特徵層——取代特徵函數來創建幾何朗蘭茲對應，儘管當時他只知道如何構建其中的少數
幾個。
層比函數更加深奧，數論學家們不知如何看待這個提議的幾何朗蘭茲對應的「表親」。但
儘管其波形側非常深奧，幾何朗蘭茲計劃相比數論版本的朗蘭茲計劃有一個很大的優勢。
在幾何朗蘭茲中，特徵層的頻率由黎曼曲面上的點決定，並且在近距離觀察時，球面或甜
甜圈上的每個點看起來都很相似。但是在數論朗蘭茲中，頻率由質數決定，而每個質數都
有獨特的性質。倫敦帝國理工學院的數論學家安娜·卡拉尼說，數學家們不知道「如何以
一種好的方式從一個質數過渡到另一個質數」。
黎曼曲面在物理學中扮演著重要角色，特別是在共形場論中，這理論支配了亞原子粒子在
某些力場中的行為。1990年代早期，貝林森和德林費爾德展示了如何使用共形場論來構建
某些特別好的特徵層。
與共形場論的聯繫為貝林森和德林費爾德提供了一個開始思考如何為層構建傅里葉分析版
本的起點。「這就是這一切結晶的小沙粒，」本-茲維說。
貝林森和德林費爾德提出了幾何朗蘭茲對應應該如何運作的豐富願景。他們認為，不僅基
本群的每個表示應標記一個特徵層的頻率，這種對應還應該尊重雙方的重要關係，這一前
景被貝林森和德林費爾德稱為「最佳希望」。
在1990年代中期，貝林森在特拉維夫大學做了一系列關於這一發展中的圖景的講座。當時
還是研究生的蓋茨格里全神貫注地聽著每一個字。「我就像一隻剛孵出的鴨子一樣受到印
象，」蓋茨格里回憶道。
在隨後的30年裡，幾何朗蘭茲猜想成為蓋茨格里數學事業的主要驅動力。「這些年來，我
不停地工作，越來越接近，開發了各種工具，」他說。
上升的海洋
貝林森和德林費爾德只是粗略地陳述了他們的猜想，結果證明他們對「最佳希望」中的關
係的看法有些過於簡單。2012年，蓋茨格里和威斯康辛大學麥迪遜分校的迪馬·阿林金找
出了如何將「最佳希望」轉化為一個精確猜想的方法。次年，蓋茨格里寫了一個幾何朗蘭
茲猜想證明的綱要。這個綱要依賴於許多中間命題，其中很多尚未被證明。蓋茨格里和他
的合作者們開始著手證明這些命題。
在接下來的幾年裡，蓋茨格里和多倫多大學的尼克·羅森布萊姆寫了兩本關於層的書，總
共近1000頁。這套兩卷本中只提到了幾何朗蘭茲計劃一次。「但它的目的是打下基礎，這
些基礎我們最終非常密集地使用了，」蓋茨格里說。
當2020年新冠疫情爆發時，蓋茨格里突然發現他的日程表空了。「我花了三個月躺在床上
思考，」他說。這種思考最終導致了一篇由六位作者撰寫的論文，該論文主要涉及朗蘭茲
計劃的函數域部分，但包含了後來成為幾何朗蘭茲猜想證明的關鍵組成部分的種子：理解
每個特徵層如何對我們可以認為的「白噪聲」做出貢獻的方法。
在經典的信號處理中，聲波是由正弦波組成的，其頻率對應於聲音中包含的音高。僅僅知
道聲音包含哪些音高是不夠的——你還必須知道每個音高的響度。這些信息使你能夠將聲
音寫成正弦波的組合：只需從幅度為1的正弦波開始，然後在將這些正弦波相加之前，將
每個正弦波乘以適當的響度因子。所有不同幅度為1的正弦波之和就是我們通常稱為的白
噪聲。
在幾何朗蘭茲計劃的世界中，特徵層應該扮演正弦波的角色。蓋茨格里和他的合作者們確
定了一種稱為龐加萊層的東西，似乎在充當白噪聲的角色。但是研究人員不知道每個特徵
層是否甚至在龐加萊層中有表示，更不用說它們是否都具有相同的幅度了。
2022年春天，拉斯金和他的研究生喬阿基姆·費爾格曼展示了如何使用六位作者論文中的
想法來證明每個特徵層確實對龐加萊層有貢獻。「在山姆和喬阿基姆的論文之後，我確信
我們會在短期內完成，」蓋茨格里談到證明幾何朗蘭茲猜想時說。
研究人員需要證明所有特徵層對龐加萊層做出相等的貢獻，並且基本群的表示標記了這些
特徵層的頻率。他們意識到最棘手的部分是處理基本群的不可約表示。
解決這些不可約表示的方法是在拉斯金個人生活混亂的時刻出現的。在他和費爾格曼將論
文上傳網絡後幾週，拉斯金不得不將懷孕的妻子緊急送往醫院，然後回家帶兒子去上幼稚
園的第一天。他的妻子在醫院待到六週後他們的第二個孩子出生，在這段時間裡，拉斯金
的生活圍繞著讓兒子的生活正常化，並在家、兒子的學校和醫院之間無盡地奔波。「我的
整個生活就是車子和照顧人，」他說。
他在開車時經常給蓋茨格里打電話討論數學。在那些週結束時，拉斯金意識到他可以將不
可約表示的問題簡化為證明三個都在可達範圍內的事實。「對我來說，那是一段奇妙的時
期，」他說。他的個人生活「充滿了對未來的焦慮和恐懼。對我來說，數學總是這種非常
紮實和冥想的事情，可以讓我擺脫那種焦慮。」
到2023年初，蓋茨格里和拉斯金，聯同阿林金、羅森布萊姆、費爾格曼及其他四位研究人
員，已經完成了貝林森和德林費爾德的「最佳希望」的完整證明，該證明經蓋茨格里和阿
林金修改。（其他研究人員是倫敦大學學院的達里奧·貝拉爾多、北京清華大學的林辰、
芝加哥大學的賈斯汀·坎貝爾和凱文·林。）這個團隊花了一年時間寫出證明，並在二月
份上傳到網上。這些論文遵循了蓋茨格里在2013年制定的大綱的某些方面，但同時簡化了
他的方法並在許多方面超越了它。「非常聰明的人為這一成就貢獻了許多新想法，」拉福
格說。
「他們不僅僅是去證明了它，」本-茲維說。「他們還在這周圍發展了整個世界。」
遠方的海岸
對蓋茨格里來說，他數十年夢想的實現遠非故事的終結。數學家們還面臨一系列新的挑戰
——更深入地探索與量子物理的聯繫，將結果擴展到帶有穿孔的黎曼曲面，並弄清楚對羅
塞塔石碑其他部分的影響。「這感覺（至少對我而言）更像是一塊大石頭的一部分被鑿下
來了，但我們還遠未到達核心，」蓋茨格里在一封電子郵件中寫道。
現在，在其他兩個部分工作的研究人員急於轉化他們能夠的成果。「一個主要部分的解決
應該會對朗蘭茲對應的整體產生重大影響，」本-茲維說。
並不是所有的成果都可以轉移——例如，在數論和函數域設置中，沒有共形場論的對應概
念，這使得研究人員能夠在幾何設置中構建特殊的特徵層。伯克利的馮東尼警告說，證明
的大部分內容需要進行嚴格調整，才能在其他兩個部分中起作用。他說，仍有待觀察「我
們是否能將這些思想運用到不同的背景中，而這些背景並不是為這些思想設計的。」
但許多研究人員樂觀地認為，這些不斷湧現的思想最終會到達這些其他領域。「它將滲透
所有學科之間的障礙，」本-茲維說。
在過去的十年裡，研究人員開始發現幾何部分與其他兩部分之間的意外聯繫。「如果[幾
何朗蘭茲猜想]在10年前被證明，那麼結果會非常不同，」馮說。「人們不會意識到它可
能在[幾何朗蘭茲]社區之外產生影響。」
蓋茨格里、拉斯金和他們的合作者已經在將幾何朗蘭茲證明轉化為函數域部分方面取得了
進展。（蓋茨格里和拉斯金在後者的長途駕駛中所做的一些發現「還未來臨，」拉斯金暗
示道。）如果成功，這種轉化將證明一個比數學家之前所知或甚至猜測的更精確的函數域
朗蘭茲版本。
大多數從幾何部分到數論部分的轉化都經過函數域。然而，在2021年，巴黎朱西數學研究
所的勞倫特·法爾格斯和舒爾茲設計了一個被舒爾茲稱為「蟲洞」的東西，將幾何部分的
思想直接帶到數論朗蘭茲計劃的一部分。
「我肯定是現在嘗試翻譯所有這些幾何朗蘭茲內容的人之一，」舒爾茲說。隨著這些大量
湧現的思想已經溢出成數千頁的文本，這並非易事。「我目前落後了幾篇論文，」舒爾茲
說，「正在嘗試閱讀他們在2010年左右的工作。」
現在幾何朗蘭茲的研究人員終於將他們冗長的證明寫在紙上，卡拉尼希望他們將有更多的
時間與數論領域的研究人員交流。「這些人對事物有非常不同的思考方式，如果他們能夠
放慢腳步，相互交流並了解對方的觀點，總是有好處的，」她說。她預測，只是時間問題
，新的工作的思想將滲透到數論中。
正如本-茲維所說，「這些結果是如此強大，一旦你開始，很難停下來。」
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