推 arrenwu : 你在(2)裡面的敘述本身就要有進位法的概念了 08/04 19:37
→ arrenwu : 否則沒辦法得出"不會有同類項合併的問題" 08/04 19:37
→ musicbox810 : 文中敘述就已經證明了不會有合併同類項 08/04 19:54
※ 引述《suspect1 (阿肥)》之銘言：
: 很難勿入，連很多補習班老師都解不出來
: ( 1+3x)(1+ 3x^3)(1 + 3x^9)(1 + 3x^27)(1 + 3x^81)(1+ 3x^243) =
: 1 + b1x^a1 + b2 x^a2 + b3 x^a3 + ...........b63 x^a63
: 其中ai,bi(i=1,2.....63)都是N
: 且 a1 < a2 < ........<a63
: 則何者正確
: 1. a20 = 90
: 2. a32 = 243
: 3. b32 = 3
: 4. b1+b2+.......b63 = 4^6 -1
: 5.a1+a2+......a63 = 11648
: 答：全
這題真正需要的大前提是：分配律的乘法原理
連這個都不會，這題完全解不下去
相對來說，3進位不是必須的
然而這題畢竟有3進位比較方便，稍晚我還是會用到3進位記號
可以故意不提及3進位這個詞，但整題的解法不太會變
(x1+y1)(x2+y2)(x3+y3) 爆開之後每一項都是
在第一個括號中2選1
在第二個括號中2選1
在第三個括號中2選1
因此總共會有 2x2x2 = 8 項，剛好每種可能各跑過一次
其它以此類推，例如 (a+b)(c+d+e)(p+q+r+s) 乘開會有 24 項
又例如 (x+y)(x+y) = xx + yx + xy + yy 也是 4 項
若xy可交換，中間是同類項，可以合併成 xx + 2xy + yy，但至少係數和還是 4
本題由上述原理，可知應該會有 2x2x2x2x2x2 = 64 項
按照次方大小 0 = a0 < a1 < a2 < ... < a63
可得各自係數 1 = b0, b1, b2, ..., b63
(1) 首先方便起見，我們需要為每一項給予一個 6 位數編號
對於 (1+3x^243) 的選擇，選到 x^243 時第 1 位數是 1, 否則是 0
對於 (1+3x^81) 的選擇，選到 x^81 時第 2 位數是 1, 否則是 0
對於 (1+3x^27) 的選擇，選到 x^27 時第 3 位數是 1, 否則是 0
對於 (1+3x^9) 的選擇，選到 x^9 時第 4 位數是 1, 否則是 0
對於 (1+3x^3) 的選擇，選到 x^3 時第 5 位數是 1, 否則是 0
對於 (1+3x^1) 的選擇，選到 x^1 時第 6 位數是 1, 否則是 0
ex: 如果分別選到 1, 1, 3x^9, 1, 3x^81, 1，會用 010100 代表這個選擇
選到 3x, 3x^3, 3x^9, 3x^27, 1, 1，則用 001111 代表這個選擇
因此 64 個選擇剛好會是 000000 ~ 111111 共 64 個編號
(2) 編號本身有個明確的比大小方式
例如 010100 > 001111，因為第 2 位數左 1 右 0，當然是左邊大
這 64 個編號，對到的次方 a0 ~ a63
比大小的順序，剛好和編號自己的比大小順序一致
ex: 010100 代表 x^( 0+81+ 0+ 9+ 0 +0) 次方
001100 代表 x^( 0+ 0+27+ 9+ 3 +1) 次方
顯然 81 的右邊，就算全取 27+9+3+1 也不會大於 81
因此有 81 會直接決定該次方比較大
上述也同時證明不會有兩項有一樣的次方，因次不會有同類項合併的問題
(3) 因此現在可以用高中的方式數出 a20 和 a32
a0 = 000000
a1 = 000001
a2 = 000010
a3 = 000011
...
an = 有 n 個編號比 an 還要小
比 100000 還小的編號是 0XXXXX，顯然有 2x2x2x2x2 = 32 個
因此 100000 就對應 a32
這項的次方是 a32 = (243+0+0+0+0+0) = 243 次
比 010000 還小的編號是 00XXXX，有 16 個
比 000100 還小的編號是 0000XX，有 4 個
比 010100 還小的有 00XXXX 和 0100XX 兩種，共 16+4 = 20 個
因此 010100 會對應 a20
這項的次方是 a20 = (0+81+0+9+0+0) = 90 次
(4) 每個編號的係數很明確，編號中有幾個 1 代表選到幾次係數 3
例如 100000 的係數是 b32，選到 1 次 3，那 b32 = 3
如果是 010100 那就選到 2 次 3，可知 b20 = 9
係數總和可以透過代入 x = 1 得到
於是 b0 + b1 + ... + b63 = (1+3)(1+3)...(1+3) = 4^6
(5) 由於編號位數各自對應次方，因此次方總和也不難算
1XXXXX 有 32 個，因此會有 243 * 32 次
X1XXXX 有 32 個，因此會有 81 * 32 次
以此類推可得 a0 + a1 + ... + a63
= 32 * (243+81+27+9+3+1) = 11648
這樣這題就做完了
對於知道3進位的人來說，應該會知道該編號就是 an 的 3 進位記法
由於所有係數都是 0 和 1，因此在速解時 2 進位也會參與
畢竟 000000 ~ 111111 作為 2 進位記法直接對應 0 ~ 63
實際上就算不知道3進位，比較有能力的學生花時間研究，還是能搞出答案
頂多不曉得自己在做3進位，拿不出3進位的記號，導致算式很亂而已
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