Re: [中學] 非常難的一題，要挑戰嗎？(集合與計數)

[mantour (朱子)]

※ 引述《suspect1 (阿肥)》之銘言：
:    很難勿入，連很多補習班老師都解不出來
: ( 1+3x)(1+ 3x^3)(1 + 3x^9)(1 + 3x^27)(1 + 3x^81)(1+ 3x^243) =
: 1 + b1x^a1 + b2 x^a2 + b3 x^a3 + ...........b63 x^a63
: 其中ai,bi(i=1,2.....63)都是N
: 且 a1 < a2 < ........<a63
: 則何者正確
: 1. a20 = 90

ai 可能的值為 1,3,9,27,81,243  任選若干項的和

注意到這個數列前幾項的和都小於下一項

所以ai從小到大 為
1
3 , 1+3
9 , 1+9 , 3+9, 1+3+9
27, 1+27, 3+27, 1+3+27, 9+27, 1+9+27, 3+9+27, 1+3+9+27

每一列的數字就是最大的數字依序加上前幾列從小到大的組合

第 n 列有 2^(n-1) 項

前 n 列共有 2^n-1 項

所以 a20 為第 5 列第 5項

81, 1+81, 3+81, 1+3+81, 9+81

a20 = 90

: 2. a32 = 243

a32 為 第6列第一項 = 243

: 3. b32 = 3

前面所有括號選1, 最後一個括號選 3x^243

=> b32 = 3

: 4. b1+b2+.......b63 = 4^6 -1

x=1 代入 1+b1+b2 + ... +b63 = 4^6

=> b1+b2+ ... + b63 = 4^6-1

: 5.a1+a2+......a63 = 11648

1,3,9,27,81,243 任選n項的和 的總和

1 被加 2^5 次 (其餘5項可選可不選)
3 被加 2^5 次 (3以外其餘5項可選可不選)
...

因此 a1+a2+...+a63 = (1+3+9+27+81+243)*32 = 11648

: 答：全

結論:

跟進位無關,

只要每個括號的次方級距滿足前幾個括號的次方總和

小於下一個括號的次方就好

例如題目改成

(1+3x)(1+ 3x^5)(1 + 3x^20)(1 + 3x^30)(1 + 3x^60)(1+ 3x^120)

=  1 + b1x^a1 + b2 x^a2 + b3 x^a3 + ...........b63 x^a63

a1 <a2 < ... < a^63

試求:

(1) a20 = ?  (ans: 80)

(2) a32 = ? (ans: 120)

(3) b32 = ? (ans: 3)

(4) b1+b2+...b63 = ? (ans: 4^6-1)

(5) a1+a2+...+a63 = ? (ans: 11648)

這樣就跟進位沒半毛錢關係了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.137.16.181 (臺灣)
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→ musicbox810 : 原PO已經被水桶10年了......
→ musicbox810 : 這題是他在math板的最後一舞
→ mantour     : 看標題就不想理他但是題目確實有點意思XD
※ 編輯: mantour (220.137.16.181 臺灣), 08/05/2024 15:18:50
※ 編輯: mantour (220.137.16.181 臺灣), 08/05/2024 15:19:22