Re: [中學] 台中一中段考題--二項式定理

[cuteSquirrel (可愛的小松鼠)]

[ √2 + √3 ]^6 = [ √3 + √2 ]^6

對調次序 方便後面製造對稱的 √3 - √2 方便計算 和 估計整數


根據指數律

[ ( √3 + √2 )^2 ] ^ 3 = 所求

[ ( √3 - √2 )^2 ] ^ 3 = 對稱形式的六次方


從中學知識 和 根號估計技巧可知 √3 ~ 1.73   √2 ~ 1.41

√3 - √2 是一個 < 1 的小數，取高次方仍是 0 ~ 1 之間的小數


[ 5 + 2√6 ]^3 = 所求

[ 5 - 2√6 ]^3 = 對稱形式的六次方 = 0 ~ 1 之間的小數



利用中學的乘法公式可知    (a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + 3 b^3

(或者用課堂的二項式定理)
                          (a - b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - 3 b^3


等號兩邊可以一起相加

(a + b)^3 + (a - b)^3 = 2 a^3 + 6 a b^2

令 a = 5, b = 2√6 代入

所求 + 對稱形式的六次方 = 2 * 5^3 + 6 * 5 * 4 * 6 = 970

所求 + 已知0 ~ 1之間的小數 = 970

所求 = 969 + 小數部分

也可以說 969 < 所求 < 970


所以， [ √2 + √3 ] 的六次方 整數部分是 969



※ 引述《choun (原來跑步這麼舒服)》之銘言：


https://imgur.com/a/gr0VozB

想問看看高手大大們怎麼解第5個小題…

感覺跟前面沒什麼連結感…  是不是有另外轉一個小方法才好解…？？

還請大大們幫忙看看，謝謝！！




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推 vectorlog   : 乘出來要是整數，那就是6個根號2或4個根號2、2個根
→ vectorlog   : 號3或2個根號2、4個根號3或6個根號3，然後排列組合
→ vectorlog   : 加起來
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→ cuteSquirrel: 不過如果是更高的n次方 目前沒想到啥好的近似法 XD
推 choun       : 感謝可愛松鼠！！！太強了~~~ 謝謝~~~！！！
→ cuteSquirrel:  >///< 不客氣