[機統] 期望值

[a4695200 (姿)]

已知r.v.X恆正，n為N，試証：

(1)  sqrt(E[x]) >=  E[sqrt(X)]

(2)  E[ X^(-n) ] >= E[X]^(-n)

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推 arrenwu     : 確認一下，不能使用"If f is concave, then f(E[X])
→ arrenwu     : >= E[f(X)]"  這個性質嗎？
不行ㄟ
※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 09:52:39
推 arrenwu     : 不能引用 Jensen's Inequality 的話，這問題會變成
→ arrenwu     : 碰觸滿底層的分析問題喔？
所以才上來問
推 cuylerLin   : 那就重頭證一次 Jensen 不就好了XD
※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 13:32:32
推 arrenwu     : ok 那就是：你看Jensen's Inequality 怎麼被證明的
→ arrenwu     : 然後證明Jensen's Inequality
推 Vulpix      : 這邊就Hoelder's inequality吧。第一個甚至只是很
→ Vulpix      : 簡單的柯西。
→ Vulpix      : 第一題，左右式的平方差=Var(sqrt(X))。
→ yhliu       : 第一個不等式, 用 E[X^2] > (E[X])^2
→ yhliu       : 第二題,若 n 為正整數, n > 1 時, 將 X^n-a^n 分解
→ yhliu       : 成 (X-a) sum_{k=0~n-1} X^k a^(n-1-k) = (X-a)g(X)
→ yhliu       : X > a 時 g(x) > g(a); X < a 時 g(X) < g(a)
→ yhliu       : 故 X^n - a^n >= (X-a)g(a) = na^(n-1)(X-a)
→ yhliu       : 取 a = E[X]
→ yhliu       : 事實上, n 為正實數, n>1, f(x) = x^n >=(x-a)f'(a)
→ yhliu       : 更一般就是 f 為 convex 的情形, 即 Jensen's ineq.
推 cuylerLin   : 突然在想第二題好像也可以用第一題的結果，兩邊平方
→ cuylerLin   : ，取倒數，這樣就是針對所有偶數成立了