[機統] 多事件交集和聯集之機率與上下界

[saltlake (SaltLake)]

  請問如何表達多事件交集和聯集的機率和上下界?

  給定事件 A(i), i = 1 to n

    兩事件聯集的機率:

    P( A(1) U A(2) )= P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2))

  但是多事件的情況呢?

    P( U A(i), i = 1 to n) = ?

    如果是上述機率的上界或者下界呢?

      ooo <= P( ^A(i), i = 1 to n) <= xxx

  倘若是交集的狀況呢?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.194.30 (臺灣)
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推 arrenwu     : P( U A(i), i = 1 to n) 常用的上界 Sum_i P(A(i))
→ arrenwu     : 常用的下界我想得到的有 max_i P(A(i))
  感謝 :)

  上面是聯集的，交集的有嗎?
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/17/2024 13:18:23
→ mantour     : 聯集不就是排容
推 mantour     :    ^機率
推 LPH66       : 由 DeMorgan 交集取補等於補的聯集, 然後代一樓
推 arrenwu     : 交集的話，通常上界用的是 min_i P(A(i))
→ arrenwu     : 而交集不太會有下界
推 kh749       : 有種包法隆尼聯合信賴區間法的感覺
推 kh749       : 搜搜看Bonferroni inequality是不是你要的
   交集如果都是獨立事件的話，總機率是連乘積。

   但是一般狀況呢?
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/18/2024 01:09:09
→ yhliu       : Bonferroni 不等式是說: 多事件聯集之機率,不大於各
→ yhliu       : 事件機率的和. 另: 多事件交集的機率,最小是0,最大
→ yhliu       : 是各單一事件機率的最小值,這是很明顯,並且除非有像
→ yhliu       : 相互獨立的附加條件否則無法改進的.
→ yhliu       : 再者,多事件聯集的正確機率,可以用 "取捨原理" 計算
→ yhliu       : P{聯集Ai) = sum P{Ai} - sum P{Ai交集Aj} +- ...
→ yhliu       : 後面 "+-..." 是 + 所有3事件交集機率和 - 4事件...
→ mantour     : y大，若兩事件AB交集的機率下界可以改進到 max(0 ,
→ mantour     : P(A)+P(B) - 1)，不知道多事件的時候有沒有辦法寫
→ mantour     : 成類似的。
  聯集的情況︰

   P( A(1) U A(2) ) = P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2))

   P(A(1) ^ A(2)) >=0 =>

    P( A(1) U A(2) ) <= P(A(1))+P(A(2)) 等號於兩事件交集為空集合成立
                        有上界
  交集的情況︰

    P( A(1) U A(2) ) = 1-P( comp( A(1) U A(2) ) )
     = 1-P( comp(A(1) ^ comp(A(2) )

     => P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) = 1-P( A(1) U A(2) )
         >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) )
            有下界

     另外我們知道，獨立事件之聯集的機率是個事件機率的聯乘積。

   所以:

     P(comp(A(1)))*P(comp(A(2))) >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) )

   但是獨立事件屬特殊情況，一般情況呢?
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 18:27:24

     是否存在下面這個不等式?

   P( A(1) ^ A(2) ) <= P(A(1))*P(A(2))

    等號在事件是彼此獨立的時候成立，而當事件彼此相依的時候是小於之關係。
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 23:17:19
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 23:18:30
推 LPH66       : 獨立並不取極值, 相對來說反而比較像是「中間狀況」
→ LPH66       : 很上面都提過了, 交集最小 0 最大是所有機率中最小
→ LPH66       : 而獨立的相乘結果顯然小於所有個別機率
                                       ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  請問這點怎麼證明?

  哎呀! 忘了這邊是機率! 機率值都小於等於一且大於等於零。

  所以機率連乘必然不會變大而可能越來越小，
  而機率聯加不會變小而可能越加越大。

    題外話，倘非機率而是不小於一的正數之聯乘與聯加呢?

→ LPH66       : 你下面提的下界照樣推算其實可以寫成
→ LPH66       : (ΣP(A(i)))-(n-1), 如果要考慮到自然下界 0
→ LPH66       : 那可以加個 max(..., 0) 就好
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/20/2024 08:54:46
※ 編輯: saltlake (220.136.207.41 臺灣), 08/21/2024 06:08:58