[中學] 想請教一題高中數學

[kill801113 (醉落人間)]

題目是

https://i.imgur.com/J3rP1Te.jpeg

題目是選擇題選項分別是0.2 0.25 0.3 0.4 0.5

我的想法是利用根號裡面的三數和 兩兩乘積和 三數積去處理

但有一個部分就處理不下去了

當然也有可能是我的方向錯誤

再請板上大神指導一二謝謝
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推 vectorlog   : 不如把過程也貼上來，看看哪裡有突破點
→ jack7775kimo: 丟WolframAlpha偷看結果是0.4934xxx,有精確解?
→ jack7775kimo: 不知道有沒有用:去gpt詠唱一下看到那三個cos是8x^3-
→ jack7775kimo: 6x+1=0的根,但沒想到要如何連過去它們開三次方後的
→ jack7775kimo: 和
→ kill801113  : 抱歉，忘了說題目問的是近似值。我也有用電腦估算答
→ kill801113  : 案確實是0.49多，但我也很難用手動突破。
→ kill801113  : https://i.imgur.com/hi9T1Vn.jpeg
→ kill801113  : 這是我本來的想法，謝謝
→ jack7775kimo: 比較暴力就做下界估計:為了把角度弄小,4pi/9那要改
→ jack7775kimo: 成sin,然後8/9pi改成pi/9;這樣方便做級數展開
→ jack7775kimo:   sine
推 cuteSquirrel: 感覺超綱了 這是拉馬努金寫的一條規律恆等式
推 cuteSquirrel:  https://i.imgur.com/tq8167p.png
→ cuteSquirrel: 就算知道右邊的公式 還要去估計數值
→ cuteSquirrel: 至少出在競賽題等級以上才合理
→ kill801113  : 首先先跟樓上的幾位版大道謝，剛剛我收到訊息。詢問
→ kill801113  : 我的人後來才被告知這份考卷可以用計算機  很抱歉浪
→ kill801113  : 費了大家的時間。謝謝各位的熱情回覆