Re: [中學] 代數問題

[cuteSquirrel (可愛的小松鼠)]

※ 引述《knuk (金鋒)》之銘言：
: 還沒想到方法，請益各位
: a,b為正數，若函數f(x)=(ax+b)/(x^2+1)的值域為［-1,5］，則ab=?



令 y = (ax + b ) / (x^2 + 1) 且 y 的範圍落在 [-1, 5]

ax + b = y x^2 + y

y x^2 - ax + (y-b) = 0

由題目知道f(x) 的 x 有解

判別式 >= 0

判別式 = a^2 - 4y(y-b) >= 0

整理 變號 之後

4 y^2 - 4by - a^2 <= 0

y 的範圍落在 [-1, 5] 不等式的y解在 -1, 5

由根與係數

兩根之和 = -1 + 5 = - (-4b) / 4 = 4b / 4 = b = 4

兩根之積 = -1 * 5 = - a^2 / 4 => a^2 = 20 => a = 正負√20


題目給的條件是 a > 0, b > 0

a = √20 = √4 * √5 = 2 √5

b = 4


ab = 2√5 * 4 = 8√5

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.37.203.44 (臺灣)
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→ cuteSquirrel:  https://i.imgur.com/lPG68MD.png
→ cuteSquirrel:  圖形幫助理解 (幾何觀點)
→ cuteSquirrel:  求直線方程，而且直線 y=ax+b 不可以超過另外兩條
→ cuteSquirrel:  二次曲線
※ 編輯: cuteSquirrel (114.37.203.44 臺灣), 08/20/2024 17:04:54
推 knuk        : 感謝
→ cuteSquirrel:  : )
推 knuk        : https://i.imgur.com/uuu6w6T.jpeg
→ knuk        : 剛剛自己重算一次...順利，大感謝
→ cuteSquirrel:  讚
→ musicbox810 : 請問另外兩條二次曲線是怎麼來的?
→ cuteSquirrel: 分母，另外題目說y的值域在[-1, 5]
→ cuteSquirrel: 移項過去就可以了
→ musicbox810 : 謝謝c大懂了
→ cuteSquirrel:  : )