Re: [中學] 二項展開式和線性近似之關係

[mantour (朱子)]

※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
: ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言：
:   如果是更一般的狀況呢?
:     A = 1-Pi( 1- a(i), i = 1 to n)
:     B = sum( a(i), i = 1 to n)
:   A 和 B 之間也有先前的關係嗎?

若 0 <= a(i) < 1

令

A' = 1-A = Pi( 1- a(i), i = 1 to n)
B' = 1-B = 1 - sum( a(i), i = 1 to n)

n=1 時 A' = B'

設n=k時 A' >= B'

n=k+1時

A' = Pi(1-a(i), i=1 to k+1)
   = Pi(1-a(i), i=1 to k) * (1-a(k+1))
   >= (1 - sum( a(i), i=1 to k))*(1-a(k+1))
   = 1 - a(k+1) - sum(a(i), i=1 to k) + a(k+1)*sum(a(i), i=1 to k)
   = 1 - sum(a(i), i=1 to k+1) + a(k+1)*sum(a(i), i=1 to k)
   >= B'

由數學歸納法 A'>=B', 即 A <= B for all n

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※ 編輯: mantour (223.137.182.112 臺灣), 08/28/2024 13:44:13
→ musicbox810 : A'後的第45等號(1-a(k+1))*sum(a(i))是不是應該是
→ musicbox810 : +a(k+1)*sum(a(i))?
已改，感謝指正
※ 編輯: mantour (223.137.182.112 臺灣), 08/29/2024 12:35:42