Re: [代數] 不等式證明

[WINDHEAD ( )]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 各位先進好，
: 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
: 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n
: 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
: 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。
: 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。
: 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。
: 感謝回答～

剛剛仔細看了一下還真的跟 n 有關

我們想要知道 LHS = (x_1+x_2+...+x_n)^2

    是否大於 RHS = n(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)

一個簡單的數字代入是 令 y = x_1 = ... = x_k , 其餘為 1

那麼 LHS = [ky+(n-k)]^2 , RHS = n(k-1)y^2+2ny+n(n-k-1)

 LHS - RHS 可整理得到  (k^2-nk+n)(y-1)^2

令 f(n,k) = k^2-nk+n = (k-n/2)^2 + (4-n)n/4

所以當 n>4 的時候 我們總是可以取 k = [n/2] 使 f(n,k) < 0

也就是 LHS - RHS < 0 對於所有 y

但你也可以取 k=1 讓 LHS - RHS = (y-1)^2 ≧ 0 對於所有 y



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.83.106 (臺灣)
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※ 編輯: WINDHEAD (220.136.83.106 臺灣), 09/13/2024 23:49:42
推 Vulpix      : 我是想要去證positivity，用行列式算不知道好不好
→ Vulpix      : 算。
→ mantour     : u=(1,1,1,2,2) 時w=(-0.4,-0.4,-0.4,0.6,0.6)
→ mantour     : <w,Tw>=0.2  > 0
→ WINDHEAD    : 對誒 我刪掉好了
 (1,1,1,2,2) 時(x_1+x_2+...+x_n)/n = 7/5

             但是√((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) = √2

             右邊反而比較大

※ 編輯: WINDHEAD (220.136.83.106 臺灣), 09/14/2024 11:29:45
推 Lanjaja     : 謝謝WIND大，我還來不及看懂WIND大後面的證法，但是
→ Lanjaja     : 加了一些限制條件，也許真的可以得出來？
※ 編輯: WINDHEAD (220.136.83.106 臺灣), 09/14/2024 12:29:25