Re: [代數] 不等式證明

[Lanjaja ()]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 各位先進好，
: 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
: 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n
: 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
: 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。
: 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。
: 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。
: 感謝回答～

各位先進，真的很抱歉。
謝謝所有前輩提供的思路，對我來說都很有幫助，學習到不同的切入點。
經過Star大指出反例，這個命題應該是有問題的，
我思慮不周，很抱歉，應該再做一些修正。

我是在一本不等式入門的書看到作者給出n=3的狀況：
(x_1 + x_2 + x_3)/3 ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)/n) ≧ 幾何平均數
這道命題沒有問題，n=4的狀況也是正確的。
但是書中說n=3這條不等式只是關於n個非負數的類似結果的一個特殊情形，
廣義狀況為最左端是算術中項，最右端是幾何中項。

所以按照上下文，我就努力在想中間項的表達式。
光從左邊不等式我猜不出來，只能從右側反推出中間項應該是相鄰循環項。
但是我的猜測現在證實到n=5就卡住了。

一切又似乎回到原點了，我想好久都想不出來><
能否請各位前輩再幫忙想想這中間項的形式是什麼？
感謝各位強者的幫忙！

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726287077.A.2B1.html
→ WINDHEAD    : 沒有 我n>4的證明少算了好幾項 是錯的
→ WINDHEAD    : 那個只適用 n<5.  我另外回在上面 n>5 的時候
→ WINDHEAD    : 這個不等式不總是對的
推 Starvilo    : 令x_1=x_2=1,其餘全取0 ,n>=5,皆是反例
推 StellaNe    : 全相異項乘積除以組合數?
推 StellaNe    : 或 n-1項乘積和平均開n-1方根?
→ mantour     : 覺得應該是樓上說的沒錯
→ mantour     : n-1項乘積的所有組合的平均開n-1方根
→ mantour     : 這樣右邊等號可以用調和平均的倒數證明
→ mantour     : 左邊用程式沒有找到反例但是沒想出怎麼證明
→ mantour     : ** 更正右邊不等式用調和平均的倒數證明
推 Vulpix      : 兩兩乘積都拿來平均吧。
→ mantour     : 對厚 兩兩乘積平均 也可以
→ mantour     : 請教樓上兩兩乘積平均要怎麼證明
推 Vulpix      : 平方相減會得到樣本變異數。
→ Lanjaja     : 請問n-1項乘積是哪些？n=3的情況是3項乘積
→ Lanjaja     : m大可以解釋一下右邊怎麼用調和不等式證明嗎？感謝
推 TimcApple   : wiki: Maclaurin's inequality
→ Lanjaja     : Tim大太厲害了，就是這個不等式了，這都能找得出來!