[微積] 反導函數是否為初等函數

[apwi (loves math)]

請教各位同好
是否能判斷函數f的反導函數是否為初等函數。
同學做一個科展題目，寫出一個定積分，有利用ggb
或wolfram alpha幫忙計算出定積分的近似值，
但還是想知道是否可以找出反導函數來求出精準值。

嘗試了很多技巧還是積不出來，老師說，不是所有
函數的反導函數都能寫成初等函數，
所以想要請問，是否有方法可以判斷？

先謝謝各位。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.238.65.167 (臺灣)
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→ apwi        : 補充說明：利用wolfram也是找不出不定積分
→ mantour     : 不定積分能寫成反導函數也不是定積分有準確值的必
→ mantour     : 要條件
希望定積分的值可以清楚呈現出原來的形式
例如：答案如果是根號2，希望呈現根號2，
而非1.414...這樣


※ 編輯: apwi (36.238.65.167 臺灣), 10/06/2024 21:23:45
推 LPH66       : 高等數學是有這麼一個定理叫劉維爾定理
→ LPH66       : https://reurl.cc/YqpRXa 但我想你們可能也無法應用
→ LPH66       : (主要是定理在講什麼你們也要花時間理解)
→ LPH66       : 那以科展範圍來看的話我覺得你們相信 Wolfram Alpha
→ LPH66       : 說不定是比較可行一點的結果
→ mantour     : Risch Algorithm感覺是你想要的但是應該很難應用
→ mantour     : 高斯函數的反導函數不能寫成初等函數但是高斯函數在
→ mantour     : 負無窮大到無窮大的定積分可以算出是根號pi
→ mantour     : [ 上一行高斯函數指的是 e^-(x^2) ]
推 topstr      : 橢圓積分
我了解以上各位大大的意思了
就算反導函數不存在初等函數的表示法，
或許還是有其他的技巧去一步步將定積分的值
求出來，如同e^{-x^2}一樣

那這一題我要思考的是
1.能否找出反導函數（目前看來不可行）
2.嘗試一些特殊技巧來處理這個定積分

謝謝大家的解答
學到很多
※ 編輯: apwi (163.27.3.71 臺灣), 10/07/2024 14:06:51
→ mantour     : 或是看有沒有機會整理成用某些特殊函數來表達
→ topstr      : 量子場論路徑積分算partition function除了高斯跟
→ topstr      : Columb potential(連發明人費曼都承認他沒算出來)
→ topstr      : 之外,都沒精確解,只能用微擾技巧一階一階慢慢算
→ topstr      : 整個實軸積分e^-f(x),f=x^2+x^3,沒精確解
推 topstr      : 更正,量子力學中partition function只有1.free case
→ topstr      : 高斯積分 2.高斯+harmonic oscillator 3.高斯+庫倫
→ topstr      : 勢 這三種有精確解,其他potential只能用微擾方法算
推 topstr      : 古典力學中擺角為任意角度 即非小角度 的單擺週期
→ topstr      : 即是第1類橢圓積分
推 topstr      : QFT的微擾法其實就是機率的moment generating fcn.
→ topstr      : 在指數上加了1項jx,對參數j微分去算積分,只是更複雜