[工數] 波動方程式，正交性與週期不一致

[wallowes (Qoo)]

如題，當兩端點的固定條件不同時，(0<x<L，L是繩子長度)

(Z(0)=0, Z'(L)=0或Z'(0)=0, Z(L)=0)

beta會等於 (2n-1)π/2L，

T = 4Ln/(2n-1)，

可是當最後面在算通解的An或Bn，利用正交特性時，

(因為通解代入初始條件後，只會剩下sin或cos函數，

所以視為傅立葉級數半幅展開，)

這時候利用正交特性的積分範圍是從-L~L，

我查了一下chatgpt是說這時候看回原始的物理條件即可，

怎麼解釋正交特性採用的積分範圍跟beta算出來的不一致?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.210.81 (臺灣)
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推 topstr      : 不能亂換定義域,x從0~L跟-L~L是不同題目,你要一致,
→ topstr      : 就要做平移跟尺度縮放等變數變換
可是是老師說是像是傅立葉半幅展開，

所以很像題目只給定一半週期:0<x<L，

然後自己去假定另外半邊的波形，

去把f(x)做成奇函數(如果是sin)、或是偶函數(如果是cos)，

最後寫出來會是2倍的0~L，

因為奇*奇=偶、偶*偶=偶。
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/08/2024 14:15:06
推 topstr      : 我去查書好了,以前學時,沒學過什麼全幅 半幅
推 topstr      : 我覺得sin跟cos都要吧,不然要怎麼滿足B.C.f(0)=f'(x
→ topstr      : f(0)=f'(L)=0
推 arrenwu     : 方便附上原本的題目敘述嗎？
partial^2 u(x,t)/partial t^2 = c^2 * partial^2 u(x,t)/partial x^2

Boundary Condition: u(0,t)=0,u(L,t)=0

利用變數分離法就是Z(0)=0, Z(L)=0

總共有4種B.C.

Initial Condition: u(x,0)=f(x), partial u(x,0)/partial t=g(x)

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如果B.C是兩端固定條件相同，(Z(0)=0,Z(L)=0或Z'(0)=0,Z'(L)=0)

那beta = nπ/L，則T=2L，

這時候後面利用正交特性的話，積分-L~L就會跟T的範圍吻合，

題目解法就是:

變數分離法->T''(t)/(c^2*T(t))=Z''(x)/Z(x)=λ

先求Z(X)，conjugate imaginary roots一定有非零解，

所以令λ=-beta^2(beta>0)

找出非零解的beta->可求得λ，

將λ帶入T(t)式中，去求T(t)，

然後用superposition theorem，

把所有的Zn(x)*Tn(t)加起來就是u(x,t)，

這時候Initial condition u(x,0), partial u(x,0)/partial t，

代入會變成類似傅立葉級數的樣子。
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/08/2024 22:22:23
→ wohtp       : 砍一半還是正交啊，自己積分一下就可以證明了
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/09/2024 00:00:10
推 topstr      : 我說錯,sin (n+1/2)pi x/L是可以滿足f(0)=f'(L)=0的
我後來問chatgpt後，自己想通了，

因為代入Initial Condition後，(u(x,0)=f(x))

只剩x函數，而x函數代表的是空間的意思，

所以0<x<L，就是正交要使用的積分範圍。

而在空間下算出的4Ln/(2n-1)只是波長。
※ 編輯: wallowes (203.204.210.81 臺灣), 10/09/2024 19:58:53
推 Vulpix      : 好像終於知道你在說什麼了，你最後的理解是對的。
→ Vulpix      : 邊界上為0的解有些只有半個波、一個波半或好幾個波
→ Vulpix      : 半。這都只是正常現象，沒必要剛好是整數個波。