Re: [幾何] blending surfaces的問題

[mantour (朱子)]

※ 引述《phoenixlife (All in AAPL)》之銘言：
: 最近看到電腦圖學的數學
: 是有關把兩個曲面可以融在一起
: 方法叫smooth minimum
: 看到一位作者Inigo Quilez 是採用quadratic polynomial
: 開了desmos測試一下
: https://www.desmos.com/3d/s1nmvi8frp?lang=zh-TW
: 但數學式子有個地方看不懂
: https://i.imgur.com/yx3GGPZ.jpeg
: 就是為什麼要除以4，而且我只要改成其他數字，邊界就會出問題

設S1: f1(x,y,z)=0 , S2: f2(x,y,z)=0

f3(x,y,z) = min(f1,f2) - max(0, k-|f1-f2|)^2/ak, k>0

我們觀察一下f3在不同範圍的樣子

1. 在 |f1-f2|>k 的區域
f3 = min(f1,f2) , 所以S3: f3(x,y,z)=0 在S1, S2 分得夠遠的地方就是兩個曲面的聯
集, 符合我們想要的性質

2. 在 |f1-f2|<k 的區域
f3 = min(f1,f2) - (k-|f1-f2|)^2/ak

若 f1>f2
f3 = f2 - (k-f1+f2)^2/ak
▽f3 = ▽f2 + 2(k-f1+f2)/(ak) ▽f1 - 2(k-f1+f2)/(ak) ▽f2

在f1-f2 ->0 時
▽f3 -> 2/a ▽f1 + (1 - 2/a) ▽f2

反之 當f2>f1
在f1-f2 ->0 時
▽f3 -> (1 - 2/a) ▽f1 + 2/a ▽f2

因為 ▽f3 是曲面的法向量
如果我們希望曲面是平滑的
那 ▽f3 在跨過 f1-f2 = 0 的曲面兩邊要連續因此邊界條件為:
(1-2/a) = 2/a => a = 4

cubic的情形類似計算可得 a=6

: cubic polynomial 則是要除以6，不然邊界會出問題
: https://i.imgur.com/5BszvZO.jpeg
: 大概只知道他是要把兩個曲面sdf的差要做標準化，然後再丟進多項式
: 希望版上大大可以解惑
: 另外如果有不錯的電腦圖學、幾何代數相關的書可以推薦給我，原文也可以
: 謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.165.22.208 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1730282448.A.FB4.html
※ 編輯: mantour (118.165.22.208 臺灣), 10/30/2024 19:02:40
→ musicbox810 : 請問m大(1-2/a) = 2/a要怎麼推得？
→ musicbox810 : 懂了
推 phoenixlife : 看懂了 感謝！
→ musicbox810 : 雖然是看懂裡面的過程，可是還是不知道f3的意思
→ mantour     : 我的f3就是原本連結裡面的m
→ mantour     : f3=m(f1,f2,k)=0 就是f1,f2融合的曲面
→ mantour     : 這裡的f3就是 m(f1,f2,k)
→ mantour     : 如果要融合三個曲面可以先融合前兩個, 得到的結果再
→ mantour     : 跟第三個融合
→ musicbox810 : 謝謝m大的解釋
→ musicbox810 : m大可以解釋一下f3的實際意義嗎?
→ mantour     : musicbox那請問你min(f1,f2)的部分也有問題嗎, 還是
→ mantour     : 只有後面有k的那部分有問題?
→ musicbox810 : 都有問題，如果是min(a(x,y),b(x,y))可理解是兩曲面
→ musicbox810 : 間垂直高度差，可是當a(x,y,z),b(x,y,z)就不知道怎
→ musicbox810 : 麼解釋
→ mantour     : 就是兩個三維空間中的純量場的差啊
→ mantour     : 例如f1,f2分別代表是兩個不同重力場的位能好了，那
→ mantour     : min(f1,f2)這個場的等位面，就是f1等位面的一部分
→ mantour     : 跟f2等位面的一部分接起來，只是接的部分不平滑
→ mantour     : f1-f2=0是空間中的一個曲面，這個曲面會包含f1=0和
→ mantour     : f2=0這兩個曲面的交點
→ mantour     : |f1-f2|<k就是這個曲面往兩邊增加厚度k的一個厚度2
→ mantour     : k的殼
→ mantour     : f3在殼的一邊等於f1，另一邊等於f2，然後殼中間的
→ mantour     : 部分用一個平滑的函數把它連起來
→ mantour     : 對不起更正厚度的部分，厚度不是2k
→ mantour     : 大約是k除以f1-f2在垂直f1-f2=0的方向上的梯度，不
→ mantour     : 過這個厚度實際是多少也無關緊要，就是某個厚度
→ musicbox810 : 那請問m大為什麼要用min(a,b)去減後面那一項?而且怎
→ musicbox810 : 怎麼確定min(a,b)的地方就一定是a和b最接近的地方?
→ musicbox810 : 我的意思是a和b最小的地方跟實際上圖形最接近的地方
→ musicbox810 : 一定有相關聯嗎？是否a、b必須有額外的性質？
→ musicbox810 : 重力位能有相同基準，但是兩顆球的方程式有各自起點
→ musicbox810 : 就算a=b，也不代表a面和b面相接觸吧?
→ musicbox810 : 我應該是也不懂為什麼會需要有min(a,b)來做黏合
→ musicbox810 : 重力位能有相同基準面，所以a-b可以有距離的解讀
→ musicbox810 : 任意a, b，兩函數相減的意義，我就看不太出來
→ musicbox810 : 還有m(a,b)設為=0的意義我也不了解。抱歉這麼多問題
→ musicbox810 : 麻煩m大了
→ mantour     : 沒錯啊，這裡預設原本兩個曲面的方程式分別是f1=0
→ mantour     : 跟f2=0，如果不是m就要改一下
→ mantour     : 兩個曲面相交的曲線的方程式是f1=f2=0，一定會包含
→ mantour     : 於f1=f2這個曲面上
→ mantour     : f1(x,y,z)，f2(x,y,z)只是一個三維的純量場，f1(x,
→ mantour     : y,z)=0和f2(x,y,z)=0才是要融合的曲面
→ mantour     : 融合後的曲面是 m(f1,f2,k)=0
→ mantour     : 所以你說二維f1(x,y)，f2(x,y)講得也怪怪，此時要
→ mantour     : 融合的是f1(x,y)=0跟f2(x,y)=0這兩條曲線，而不是z
→ mantour     : =f1(x,y) 跟z=f2(x,y)這兩個曲面
→ musicbox810 : 如果a,b標量場沒有長度或距離的意義，|a-b|有什麼樣
→ musicbox810 : 的意義？搞不好a=0,b=0差得很遠，但是|a-b|可以很大
→ musicbox810 : 或很小
→ musicbox810 : 以原PO的desmos內容f1=0和f2=0都沒有相交，就算f1=0
→ musicbox810 : 和f2=0在某曲線上相交，這與|a-b|多大多小好像也沒
→ musicbox810 : 有一定要是大還是小，a,b的大小取決於a,b自己的函數
→ musicbox810 : 不知道我哪個地方想法有誤?
→ mantour     : 如果f1=0跟f2=0本來沒相交, 那k夠小的時候
→ mantour     : f3就等於min(f1,f2)
→ mantour     : min(f1,f2)=0 要等於f1=0和f2=0的聯集應該有一定的
→ mantour     : 條件不是任意的f1,f2都成立
→ mantour     : 假如F1=-f1, F2=-f2, 那F3就要取max(F1,F2)+
→ mantour     : min(0,|a-b|-k)^2/4k 才會有一樣的效果
→ mantour     : https://www.desmos.com/3d/zvv5rbe8db
→ mantour     : 所以我想這邊應該沒辦法很一般性的去解釋它
→ mantour     : 至少我沒有想到很好的規則
→ mantour     : 不過你說的|a-b|我是這樣想的
→ mantour     : 把 k 想成一個 tolerance value
→ mantour     : a-b = L 是一個曲面族
→ mantour     : ΔL 可以視為是曲面族中的兩個曲面之間的一種"距離"
→ mantour     : 在局部上有ΔS = |ΔL|/|▽(a-b)|  的關係
→ mantour     : 我可能再想清楚一點直接回一篇
→ phoenixlife : https://www.desmos.com/calculator/czw5xooa54
→ phoenixlife : https://i.imgur.com/r46injM.jpeg
→ phoenixlife : 用2D去看或許比較直觀
→ phoenixlife : 球面只要過綠線就會開始變形做平滑
→ phoenixlife : 當 (f1-f2)/k=1 時，會是右綠線
→ phoenixlife : 當 (f1-f2)/k=-1 時，會是左綠線