Re: [中學] 幾何證明題

[deathcustom (Full House)]

※ 引述《AquaCute (水色銅碲)》之銘言：
: ※ 引述《glmm (綠島(俺是復活島島主))》之銘言：
: : 如下圖
: : https://i.imgur.com/sP7z79s.jpeg
: : 請問給定隨意的兩個正方形，試證 x : y ＝ 1 : 根號2
: : 目前我可以用特殊的圖形求解出  x : y ＝ 1 : 根號2
: : 但我還找不出一般圖形要如何解？
: 我也覺得圖畫錯了 符合x : y = 1 : 根號2的圖長這樣：
: https://i.imgur.com/R7yXgZn.png
: 連BD、DF，我們來證明三角形DAE與三角形DBF相似：
: 1. 三角形DAB是等腰直角三角形 => DB長 = 根號2 * DA長
: 2. 三角形DEF是等腰直角三角形 => DF長 = 根號2 * DE長
: 3. 角ADE + 45度 = 45度 + 角BDF => 角ADE = 角BDF
: 因此三角形DAE與三角形DBF相似(SAS)
: => x : y = 1 : 根號2

考慮一個正方形(大正方形)邊長為L

四角座標為(0,0) (L,0) (0,L) (L,L)

假設有一條直線長度為L1>=L, 第一端落於(A,0), A<=L

其第二端落於(A,L1)

其與正方形的交點為(A,L)

考慮(0,L)與(A,L1)

得到小正方形的下方頂點為((L1-(L-A))/2,(L1+(L-A))/2)

考慮(0,0)與(A,L)連線

x/A=y/L

如果小正方形下方頂點落於上述連線上，則

[L1-(L-A)]*L = [L1+(L-A)]*A

L1*L - L^2 + AL = L1*A + LA - A^2

L1*(L-A) = (L+A)(L-A)

1. L=A
小正方形下方頂點為
(L1/2,L1/2)

長度為L1/sqrt(2)

X線段長為L1/sqrt(2)

Y線段長為L1, 兩者比為X:Y = 1:sqrt(2) #

2. L1 = L+A
小正方形下方頂點為
(A,L) =>落在大正方形的上緣，這也表示(暗示)A=L

Y線段長 2L, X線段長L*sqrt(2)

兩者比為X:Y=1:sqrt(2) #


重點：X線段的延伸與Y線段相交的位置在大正方形的上緣

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 211.23.191.211 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1732082201.A.17B.html
→ LPH66       : 其實一樣, 加你這條件就能得出只會是原 PO 做的
→ LPH66       : 那兩種狀況
考慮L = A = 10, L1 = 10+2x

根據上面條件，小正方形的其中三頂點座標為

(0,10), (10,10+2x), (5+x,5+x)
A        C           B
三者定義了小正方形(想像一下一個小正方形ABCD)邊上的兩個向量為
AB向量為：(5+x,-5+x)
BC向量為：(5-x,5+x)

可以看到這是正交且等長的兩個向量

換句話說，不管x的值為何，只要符合L=A(Y線段剛好坐落在大正方形右側邊上)

那有無限多解可以解得到符合要求的X:Y = 1:sqrt(2)

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※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 11/21/2024 08:59:27
※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 11/21/2024 09:05:31