[微積] 連鎖律的證明

[oyasmy (oyasmy)]

在Stewart的書中 連鎖律證明的上半部分是這樣

https://math.stackexchange.com/questions/2621170/chain-rule-proof-is-a-bit-unclear-what-is-epsilion-in-this-proof
而下半部分就是
u=g(x)在a可微 y=f(u)在b=g(a)可微
Δu=[g'(a)+ε1]Δx
Δy=[f'(b)+ε2]Δu
Δy=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]Δx
Δy/Δx=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]
當Δx->0 ε1->0且ε2->0
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]
=f'(b)g'(a)=f'(g(a))g'(a)

證明的下半部是簡單的 但是上半部是令人困惑的
我的問題和連結的原po不一樣
我的問題有二點
1.為什麼可以在Δx=0的時候 定義ε=0
我知道當Δx=0 ε=0/0-f'(a)=沒有定義
但是為什麼可以去定義它的值?一個函數的值不是應該要證明出來嗎?
定義不就是我想要它多少就多少 這是可以的嗎?
2.這個證明有必要知道ε=0(當Δx=0)嗎?
我覺得我只要知道lim(Δx->0)ε=0就好 至於Δx=0時 ε的值是多少
根本就不重要吧?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.61.28.165 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1733366596.A.3DF.html
推 arrenwu     : 一個函數的值不是應該要證明出來嗎 <--- 不是
→ arrenwu     : 函數的值就是定義出來的，只是你隨便亂定義的函數
→ arrenwu     : 通常很難用
我以為函數應該是要denote出來的 而不是define出來的
也就是函數應該是要用本來就有的變數組合出來
而不是無中生有創造出來 大概是我哪裡有誤解吧
→ Ricestone   : 你這裡的ε就是定義成這個樣子，然後再補上0成為
→ Ricestone   : 連續函數  隨便定義的函數還不一定在0補上函數值0
→ Ricestone   : 就會變成連續的
→ Ricestone   : 這邊補上的這個0很重要，因為你下半部份就是要直接
→ Ricestone   : 代入0時的值，而不是用極限值
※ 編輯: oyasmy (61.61.28.165 臺灣), 12/05/2024 13:00:27
推 arrenwu     : 你那個denote 是什麼意思？
→ Ricestone   : 我好像說錯了，重點不是代入的值，而只是想要連續
→ Ricestone   : 就像今天如果有f(x)=x，g(x)=x^2，h(x)=g/f for x
→ Ricestone   : 不等於0  應用上這h其實幾乎就等於x，補上0就可以令
→ Ricestone   : 寫法變得很簡潔
→ oyasmy      : denote就是你看那個連結，藍色螢光筆覆蓋的地方，它
→ oyasmy      : 的epsilon就是寫denote
推 arrenwu     : 那跟define有什麼不一樣？
→ oyasmy      : define好像是強制創造一個新規則的意思
→ oyasmy      : 請教R大，連續對這個證明的必要性是什麼？
推 arrenwu     : 我想確認一下：你現在是在問關於chain rule的證明
→ arrenwu     : 方式 沒錯吧？
→ Ricestone   : 就很單純下面根據連續的定義，lim(ε)=ε(0)=0
→ Ricestone   : 因為你在建構ε時已經建好了連續性，之後就不用再
→ Ricestone   : 補敘述什麼東西了
→ oyasmy      : 回a大，對
→ oyasmy      : 想過之後確實函數是define出來的，然後未定義點如果
→ oyasmy      : 是個洞，補上那個洞也不違反函數一對一的規則，感謝
→ oyasmy      : a大和R大的解釋
推 ERT312      : 這個證明ε1跟ε2在Δx=0時都可以不用定義
→ ERT312      : 唯有ε2在Δu=0必須定義，但也不必然要定義成0
→ ERT312      : 然定義成0可以使證明簡單一點
→ ERT312      : ^當
→ oyasmy      : 我的想法是，對於一個普通的函數的一個普通的點，若
→ oyasmy      : delta x>0時epsilon>0,則當delta x<0時epsilon<0,這
→ oyasmy      : 過渡的期間會有delta x=0的時候，所以epsilon若在de
→ oyasmy      : lta x=0時不連續會很奇怪
推 Vulpix      : 如果不是ε，x, f(x)同號而f(0)不是0，不會很奇怪
→ Vulpix      : 。先後次序要理清楚。
推 arrenwu     : 不如你發一篇文章說明你如何證明chain-rule?
→ oyasmy      : 欸...我不會自己證
→ oyasmy      : 不過我認為E大的說法是正確的 但是這樣的話
→ oyasmy      : ε好像沒有連續性的必要
→ Ricestone   : 就是後續能寫比較簡單而已，沒有影響到chain rule的
→ Ricestone   : 條件
推 deathcustom : 等等，從導數定義你怎麼會得到它不是0？你可以想一
→ deathcustom : 下
推 deathcustom : 如果原函數在某定義域內某點可導，在該點上怎麼定義
→ deathcustom : 導函數的？